( P ê n d u l o   s i m p l e s ) A um fio muito leve de comprimento L está pendurada uma partícula de massa m . Tal partícula é afastada da vertical e abandonada.

Desprezando-se a resistência do ar, mostra-se em física que o movimento da partícula é regido pela equação

θ ¨ = - g L s e n   θ

Onde g é a aceleração gravitacional supostamente constante. Admita que no instante t = 0 , θ 0 = α , 0 < α < π 2 , e θ ˙ 0 = 0 . Mostre que o tempo gasto pela partícula para sair da posição α e atingir a posição - α pela primeira vez é

L 2 g ∫ 0 α d θ cos ⁡ θ - cos ⁡ α

Passo 1

Baseando no E x e m p l o   8   d a   S e ç ã o   10.10

Temos:

θ ¨ = - g L s e n   θ

θ ¨ + g L s e n   θ = 0

Multiplicando por   θ ˙ :

θ ¨ θ ˙ + g L θ ˙ s e n   θ = 0

Assim:

θ ˙ 2 2 - g L cos ⁡ θ = 0

Logo, existe uma constante c tal que, para todo t ∈ I :

θ ˙ 2 2 - g L cos ⁡ θ = c

Pelas condições iniciais θ 0 = α e θ ˙ 0 = 0 , temos:

- g L cos ⁡ α = c

Então:

θ ˙ 2 2 - g L cos ⁡ θ = - g L cos ⁡ α

Passo 2

Desse modo, temos que:

θ ˙ = 2 g L cos ⁡ θ - cos ⁡ α

d θ d t = 2 g L cos ⁡ θ - cos ⁡ α

Separando as variáveis:

d t = d θ 2 g L cos ⁡ θ - cos ⁡ α

∫ d t = ∫ d θ 2 g L cos ⁡ θ - cos ⁡ α

Passo 3

Calculando t :

∫ 0 t d t = ∫ 0 α d θ 2 g L cos ⁡ θ - cos ⁡ α

Então:

t = L 2 g ∫ 0 α d θ cos ⁡ θ - cos ⁡ α

Resposta

t = L 2 g ∫ 0 α d θ cos ⁡ θ - cos ⁡ α

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