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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 70

  1. Se f for contínua em a , b ,   mostre que

    2. ∫ a b   f x d x     ≤ ∫ a b |   f x | d x    

  2. Use o resultado da parte a) para mostrar que

∫ 0 π 2   f x   s e n   x   d x     ≤ ∫ 0 π 2   f x   d x      

Passo 1

Resolvendo o item a)

Vamos usar a dica, certo?

Como

- f x ≤ f x ≤   f x

Passando a integral,

∫ a b - f x   d x     ≤   ∫ a b   f x d x     ≤   ∫ a b   |   f x | d x    

Perceba que

∫ a b - f x   d x     =   -   ∫ a b f x   d x    

Ou seja, temos

- ∫ a b f x   d x   ≤   ∫ a b   f x d x     ≤   ∫ a b   |   f x | d x    

Vamos usar a propriedade, a < b ⇔   - b < a < b . Estamos com o lado direito do ⇔ .   Daí, pondo pro lado esquerdo,

  ∫ a b   f x d x     ≤   ∫ a b   |   f x | d x    

Passo 2

Vamos resolver o item b)

Pelo item a),

∫ 0 π 2   f x   s e n   x   d x     ≤   ∫ 0 π 2 |   f x   s e n   x |   d x    

Usando que a ⋅ b = a ⋅ b ,

∫ 0 π 2 |   f x   s e n   x |   d x     =   ∫ 0 π 2   f x ⋅     s e n   x   d x    

E, lembrando que     s e n   x ≤ 1 ,   temos que

∫ 0 π 2   f x   ⋅     s e n   x   d x       ≤     ∫ 0 π 2   f x   d x      

Logo,

∫ 0 π 2   f x   s e n   x   d x     ≤ ∫ 0 π 2   f x   d x      

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