f é uma função definida em R e a i s tal que sua derivada segunda é igual à diferença entre sua derivada primeira e ela própria. Determine f sabendo, ainda, que f 0 = 0   e   f ' 0 = 1 .

Passo 1

Do enunciado, temos que:

f ' ' = f ' - f

f ' ' - f ' + f = 0

Temos então, uma EDL homogênea de 2º ordem, podemo encontrar a solução geral pelo método dos coeficientes constantes aplicando uma equação auxiliar

Passo 2

A equação auxiliar será dada por:

m 2 - m + 1 = 0

Resolvendo, teremos as seguintes reízes complexas:

m 1 = 1 2 + 3 2 i     e   m 2 = 1 2 - 3 2 i

Onde, a = 1 2   e   b = 3 2

Então a solução geral será:

f x = e x 2 C 1 cos ⁡ 3 2 x + C 2 sin ⁡ 3 2 x

E

f ' x = e x 2 cos ⁡ 3 2 x 1 2 C 1 + 3 2 C 2 + sin ⁡ 3 2 x 1 2 C 2 - 3 2 C 1

Passo 3

Aplicando as condições iniciais:

f 0 = 0 x ˙ 0 = 1

Encontramos que:

C 1 = 0   e   C 2 = 2 3 3

E então:

f x = 2 3 3   e x 2     sin ⁡ 3 2 x

Resposta

Portanto, temos que a função f definida em R e a i s é:

f x = 2 3 3   e x 2     sin ⁡ 3 2 x

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