Um móvel desloca-se sobre o eixo O x com acelereção proporcional à diferença entre a velocidade e a posição. Determine a posição x = x t do móvel, supondo x ¨ 0 = 2 ,   x ˙ 0 = 1   e   x 0 = 0 .

Passo 1

Temos do enunciado,

x ¨ t = k x ˙ t - x t ,   k   é   a   c o n s t a n t e   d e   p r o p o r c i o n a l i d a d e .

Tomando t = 0 ,   e utilizando as condições iniciais:

k = 2

Então

x ¨ - 2 x ˙ + 2 x = 0

Temos então, uma EDL homogênea de 2º ordem, podemo encontrar a solução geral pelo método dos coeficientes constantes aplicando uma equação auxiliar

Passo 2

A equação auxiliar:

m 2 - 2 m + 2 = 0

Resolvendo, encontramos as raízes complexas:

m 1 = 1 + i     e     m 2 = 1 - i

Onde, a = b = 1

Logo, a solução geral será:

x t = e t C 1 cos ⁡ t + C 2 sin ⁡ t

E

x ˙ t = e t cos ⁡ t C 1 + C 2 + sin ⁡ t C 2 - C 1

Passo 3

Novamente utilizando as condições iniciais:

x 0 = 0 x ˙ 0 = 1 x ¨ 0 = 2

Encontramos:

C 1 = 0   e   C 2 = 1

Concluimos que:

x t = e t sin ⁡ t

Resposta

Portanto a posição do móvel no instante t é definida por:

x t = e t sin ⁡ t

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