Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob ação da força elástica - 4 x   i → .

Supondo x 0 = 1   e   x ˙ 0 = - 1 , determine a velocidade no instante t .

Passo 1

Lembrando, pela segunda Lei de Newton:

m x ¨ = - k x - c x ˙

Logo, a equação que rege o movimento é:

x ¨ + c x ˙ + 4 x = 0

Temos então, uma EDL homogênea de 2º ordem, podemo encontrar a solução geral pelo método dos coeficientes constantes aplicando uma equação auxiliar.

Passo 2

A equação auxiliar pode ser descrita da seguinte forma:

m 2 + 4 = 0

Ao passo que podemos obter as seguintes raízes complexas,

m 1 = 0 + 2 i     e   m 2 = 0 - 2 i

Com a = 0   e   b = 2

Logo, a solução geral será dada por:

x t = C 1 cos ⁡ 2 t + C 2 sin ⁡ 2 t

E

x ˙ t = - 2 C 1 sin ⁡ 2 t + 2 C 2 cos ⁡ 2 t

Passo 3

Aplicando as condições iniciais:

x 0 = 1 x ˙ 0 = - 1

Podemos encontrar:

C 1 = 1   e   C 2 = - 1 2

Portanto a posição no instante t :

x t = cos ⁡ 2 t - sin ⁡ 2 t 2

E então,

x ˙ t = - 2 sin ⁡ 2 t - cos ⁡ 2 t

Resposta

Então, a velocidade da partícula, no instante t será dada por:

v t = - 2 sin ⁡ 2 t - cos ⁡ 2 t

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