7. As funções f e g dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Justifique.

B - f e g são definidas em R e dadas por f x = x 3 e g x = x 3 .

Passo 1

Bem, da teoria, sabemos que se f e g forem linearmente independentes, então...

α f x + β g x = 0

As únicas soluções possíveis são se α = β = 0 para todo x pertencente ao intervalo de definição (no caso R ). Caso contrário, ela será LD (linearmente dependentes).

Se para todo x a equação de cima tem que se satisfazer, então em particular, para o x = 1 :

α f x + β g x = 0   →

α x 3 + β x 3 = 0   →

Substituindo o x = 1 ...

x = 1               →                   α + β = 0  

Agora, fazendo x = - 1 ( g x = - x 3 = - 1 ( - 1 é negativo, saca)...

α f x + β g x = 0   →

α x 3 - β x 3 = 0   →

x = - 1                     →                       - α + β = 0  

Dessa equação, tiramos que α = β . Jogando isso na primeira equação que achamos...

  α + β = 0   →

  2 β = 0   →

β = 0

Portanto...

α = 0

Então as funções f e g são LI (linearmente independentes).

Resposta

Linearmente Independentes.

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