7. As funções f e g dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Justifique.

E - f x = x ,   x > 0 e g x = ln ⁡ x ,   x > 0 .

Passo 1

Bem, da teoria, sabemos que se f e g forem linearmente independentes, então...

α f x + β g x = 0

As únicas soluções possíveis são se α = β = 0 para todo x pertencente ao intervalo de definição (no caso R ). Caso contrário, ela será LD (linearmente dependentes).

Se para todo x a equação de cima tem que se satisfazer, então em particular, para o x = 1 :

α f x + β g x = 0   →

α x + β ln ⁡ x = 0   →

Substituindo o x = 1 ...

x = 1               →                   α + β ln ⁡ 1 = 0     →

α = 0

Agora, fazendo x = e ...

α f x + β g x = 0   →

α e + β ln ⁡ e = 0   →

α e + β = 0  

Como α = 0 , β só pode ser 0 :

β = 0

Então as funções f e g são LI (linearmente independentes).

Resposta

Linearmente Independentes.

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