2. Sejam f x = x 5 e g x = x 5 duas funções distintas em R .

A - Seja W o wronskiano de f e g . Verifique que W x = 0 para todo x ∈ R .

B - Prove que f e g são linearmente independentes.

C - Existe equação do tipo y ' ' + p x y ' + q x y = 0 , com p e q contínuas em R que admita f e g como soluções? Explique.

Passo 1

Antes de começarmos os problemas desse item, veja que a função g é uma função que envolve o módulo de x , portanto ela terá duas definições (uma para x positivo e outra para os negativos):

g x = x 5 ,         p a r a       x ≥ 0   - x 5 ,       p a r a       x < 0

A derivada dessa função também terá diferentes definições:

g ' x = 5 x 4 ,         p a r a       x > 0   - 5 x 4 ,       p a r a       x < 0

Com atenção especial para o g ' 0 que deve ser calculado pela definição:

g ' 0 = lim x → x 0 ⁡ g x - g x 0 x - x 0

Como x 0 = 0 e g 0 = 0 ...

g ' 0 = lim x → 0 ⁡ g x x = lim x → 0 ⁡ x 5 x = 0

Então, a derivada de g é no final...

g ' x = 5 x 4 ,         p a r a       x ≥ 0   - 5 x 4 ,       p a r a       x < 0

Passo 2

L e t r a   A :

Ok! Então agora podemos continuar com a prova. Vamos calcular o Wronskiano:

W x = f x g ' x - g x f ' x

Como g ' e g possuem definições diferentes para intervalos diferentes de x , vamos separar o intervalo R e dois:

Para x ≥ 0 : f x = x 5 , f ' x = 5 x 4 e g x = x 5 e g ' x = 5 x 4 :

W x = x 5 5 x 4 - x 5 5 x 4 =

0

Para x < 0 : f x = x 5 , f ' x = 5 x 4 e g x = - x 5 e g ' x = - 5 x 4 :

W x = x 5 - 5 x 4 - - x 5 5 x 4 =

0

Viu só? Então, para todo x ∈ R , W x = 0 .

Passo 3

L e t r a   B :

Bem, da teoria, sabemos que se f e g forem linearmente independentes, então...

α f x + β g x = 0

As únicas soluções possíveis são se α = β = 0 para todo x pertencente ao intervalo de definição (no caso R ). Caso contrário, ela será LD (linearmente dependentes).

Se para todo x a equação de cima tem que se satisfazer, então em particular, para o x = 1 :

α f x + β g x = 0   →

α x 5 + β x 5 = 0   →

Substituindo o x = 1 ...

x = 1               →                   α + β = 0  

Agora, fazendo x = - 1 ( g x = - x 5 = - 1 ( - 1 é negativo, saca)...

α f x + β g x = 0   →

α x 5 - β x 5 = 0   →

x = - 1                     →                       - α + β = 0  

Dessa equação, tiramos que α = β . Jogando isso na primeira equação que achamos...

  α + β = 0   →

  2 β = 0   →

β = 0

Portanto...

α = 0

Então as funções f e g são LI (linearmente independentes).

Passo 4

L e t r a   C :

A resposta aqui éhhhhhhh...

NÃO!

Afinal, se f e g fossem soluções da EDO, necessariamente o wronskiano deveria ser diferente de 0 para todo x ∈ R .

Resposta

Questão de demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro