2. Sejam e duas funções distintas em .
A - Seja o wronskiano de e . Verifique que para todo .
B - Prove que e são linearmente independentes.
C - Existe equação do tipo , com e contínuas em que admita e como soluções? Explique.
Passo 1
Antes de começarmos os problemas desse item, veja que a função é uma função que envolve o módulo de , portanto ela terá duas definições (uma para positivo e outra para os negativos):
A derivada dessa função também terá diferentes definições:
Com atenção especial para o que deve ser calculado pela definição:
Como e ...
Então, a derivada de é no final...
Passo 2
Ok! Então agora podemos continuar com a prova. Vamos calcular o Wronskiano:
Como e possuem definições diferentes para intervalos diferentes de , vamos separar o intervalo e dois:
Para : , e e :
Para : , e e :
Viu só? Então, para todo , .
Passo 3
Bem, da teoria, sabemos que se e forem linearmente independentes, então...
As únicas soluções possíveis são se para todo pertencente ao intervalo de definição (no caso ). Caso contrário, ela será LD (linearmente dependentes).
Se para todo a equação de cima tem que se satisfazer, então em particular, para o :
Substituindo o ...
Agora, fazendo ( ( é negativo, saca)...
Dessa equação, tiramos que . Jogando isso na primeira equação que achamos...
Portanto...
Então as funções e são LI (linearmente independentes).
Passo 4
A resposta aqui éhhhhhhh...
NÃO!
Afinal, se e fossem soluções da EDO, necessariamente o wronskiano deveria ser diferente de para todo .
Resposta
Questão de demonstração.