1. Sejam e duas funções definidas em e dadas por e .
A - Verifique que e são linearmente independentes.
B - Seja , o wronskiano de e . Verifique que existe real tal que .
Este resultado está em contradição com o teorema desta seção? Explique.
Passo 1
Bem, da teoria, sabemos que se e forem linearmente independentes, então...
As únicas soluções possíveis são se para todo pertencente ao intervalo de definição (no caso ). Caso contrário, ela será LD (linearmente dependentes).
Se para todo a equação de cima tem que se satisfazer, então em particular, para o :
Substituindo o ...
Onde tiramos que . Agora, fazendo , o seno vai virar , ou seja...
Dessa equação, tiramos que (já que , saca?).
Então as funções são LI (linearmente independentes).
Passo 2
O wronskiano de e no caso é...
Podemos derivar as nossas funções...
Agora é só substituir mesmo:
Veja que de fato, se fizermos ...
Como é real, então de fato existe real tal que o wronskiano é .
Passo 3
Não está em contradição com teorema nenhum (seria algo meio estranho a o teorema está em contradição, não acha?).
Além disso, os nosso teoremas nos falam que se duas funções são LD, então o wronskiano será , mas se wronskiano for zero, não necessariamente as funções serão LD (portanto elas podem sim ser LI e ter o wronskiano ).
Resposta
Letra A: Linearmente Independentes.
Letra B: Existem pontos capazes de zerar o wronskiano, como o .
Não contradiz o teorema.