1. Sejam f e g duas funções definidas em R e dadas por f x = sin ⁡ x e g x = 1 .

A - Verifique que f e g são linearmente independentes.

B - Seja W = W x ,   x ∈ R , o wronskiano de f e g . Verifique que existe x 0 real tal que W x 0 = 0 .

Este resultado está em contradição com o teorema desta seção? Explique.

Passo 1

L e t r a   A :

Bem, da teoria, sabemos que se f e g forem linearmente independentes, então...

α f x + β g x = 0

As únicas soluções possíveis são se α = β = 0 para todo x pertencente ao intervalo de definição (no caso R ). Caso contrário, ela será LD (linearmente dependentes).

Se para todo x a equação de cima tem que se satisfazer, então em particular, para o x = 0 :

α f x + β g x = 0   →

α sin ⁡ x + β ⋅ 1 = 0   →

Substituindo o x = 0 ...

x = 0               →                   α ⋅ 0 + β ⋅ 1 = 0  

Onde tiramos que β = 0 . Agora, fazendo x = π 2 , o seno vai virar 1 , ou seja...

x = π 2                     →                         α ⋅ 1 + β ⋅ 1 = 0  

Dessa equação, tiramos que α = 0 (já que β = 0 , saca?).

Então as funções são LI (linearmente independentes).

Passo 2

L e t r a   B :

O wronskiano de f e g no caso é...

W x = f x g x f ' x g ' x →

W x = f x g ' x - g x f ' x

Podemos derivar as nossas funções...

f x = sin ⁡ x             →                     f ' x = cos ⁡ x

g x = 1             →                     g ' x = 0

Agora é só substituir mesmo:

W x = sin ⁡ x ⋅ 0 - 1 cos ⁡ x   →

W x = - cos ⁡ x  

Veja que de fato, se fizermos x = π 2 ...

W π 2 = - cos ⁡ π 2 = 0  

Como π / 2   é real, então de fato existe x real tal que o wronskiano é 0 .

Passo 3

Não está em contradição com teorema nenhum (seria algo meio estranho a o teorema está em contradição, não acha?).

Além disso, os nosso teoremas nos falam que se duas funções são LD, então o wronskiano será 0 , mas se wronskiano for zero, não necessariamente as funções serão LD (portanto elas podem sim ser LI e ter o wronskiano 0 ).

Resposta

Letra A: Linearmente Independentes.

Letra B: Existem pontos capazes de zerar o wronskiano, como o x = π / 2 .

Não contradiz o teorema.

Ver Outros Exercícios desse livro