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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 67

67. Qual das integrais ∫ 1 2 arctg ⁡ x d x , ∫ 1 2 arctg ⁡ x d x e ∫ 1 2 arctg ⁡ sen ⁡ x d x tem o maior valor? Por quê?

Passo 1

Uma integral definida, ou seja, que tem limites de integração, pode ser interpretada como a área sob a curva entre os limites dados. A função arcotangente é uma função crescente:

Então a função que está dentro do arcotangente que crescer mais entre 1 e 2 fará com que a área do arcotangente seja maior, ou seja, a integral dessa função será maior. As três funções que estão dentro do arcotengente são x ,     x e   sen ⁡ x

Entre um e dois podemos afirmar que:

x > x > sen ⁡ x

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arctg ⁡ x > arctg ⁡ x > arctg ⁡ sen ⁡ x

Da mesma forma as integrais:

∫ 1 2 arctg ⁡ x d x > ∫ 1 2 arctg ⁡ x d x > ∫ 1 2 arctg ⁡ sen ⁡ x d x

Resposta

∫ 1 2 arctg ⁡ x d x > ∫ 1 2 arctg ⁡ x d x > ∫ 1 2 arctg ⁡ sen ⁡ x d x

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