Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 49
47 – 50 Encontre e .
49.
Passo 1
Fala aí, pessoal.
Essa questão pede pra gente encontrar as derivadas de primeira e de segunda ordem da função
Repare que temos aqui uma função dentro da outra como se fosse uma casca de cebolas. Nesses casos dizemos que temos uma função composta. E para encontrar sua derivada devemos usar a regra da cadeia.
Essa regra diz o seguinte
Sendo:
Sua derivada será:
Ou seja, a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro.
Para facilitar nossa vida, vamos tirar a função da raiz escrevendo como expoente fracionário. Assim:
Vamos repetir esse processo até chegar a derivada mais interna. Beleza?!
Isso aí nos dará a derivada de primeira ordem. Para encontrar a derivada de segunda ordem precisaremos derivar esse resultado novamente. Mas como ainda não conhecemos o tipo de função que teremos, vamos fazer aos poucos, ok?
Show, por agora basta aplicar a regra da cadeia. Vamos ver isso acontecendo no passo a passo abaixo. Vem comigo.
Passo 2
A derivada que estamos procurando é:
E podemos pensar na função de dentro como sendo uma função
Assim, o que queremos é:
E usando a regra da cadeia e a regra do expoente, ficaremos com:
Beleza, mas perceba que ainda precisamos de .
Passo 3
A função de dentro, a interna, é
Como temos dois termos, podemos derivar separadamente. Lembrando que a derivada de constante é sempre zero e a derivada de é tabelada. Temos:
Show, agora basta encaixar isso em nossa derivada anterior.
Passo 4
A primeira derivada dessa função fica:
Substituindo por
E organizando melhor, teremos:
Maravilha. A Primeira já foi, agora vamos procurar a segunda derivada.
Passo 5
Agora vamos derivar mais uma vez, para encontrarmos a segunda derivada. Ou seja, faremos:
E como essa derivada é de uma função que pode ser entendida como uma multiplicação de três outras funções, vamos usar a regra do produto.
Que diz o seguinte
Então
Então vamos pensar que
E
Aplicando a regra do produto, ficamos com:
Show, vamos precisar das seguintes derivadas:
E
Então vamos calcular cada uma delas separadamente.
Passo 6
A primeira delas é:
Usando a regra da cadeia:
A função de fora, a externa, é:
e sua derivada é:
E a função de dentro, a interna, é:
Que já sabemos que a derivada é igual a:
Então a primeira derivada que aparece na nossa expressão para fica:
Como :
Passo 7
Para a segunda derivada:
Só precisamos usar a regra do produto:
Multiplicando esses termos, temos a derivada:
Passo 8
Voltando para a função principal, temos:
Substituindo as derivadas que acabamos de encontrar ficaremos com:
Vamos ajeitar essa resposta algebricamente.
Fazendo as multiplicações e reescrevendo o que tem coeficiente negativo como um termo que está dividindo, ficaremos com:
Fazendo a soma dessas frações:
Fazendo a distributiva:
Aplicando os sinais:
Juntando os termos semelhantes:
Podemos usar a relação:
Então
Substituindo na equação:
Distributiva:
Somando os termos semelhantes:
E finalmente, temos nossa resposta final.