(Método dos babilônios para cálculo de raiz quadrada) Considere a sequencia a n , n ≥ 0 , dada por

a n + 1 = 1 2 a n + α a n

Onde a 0 e α são reais positivos dados. (Observe que a n + 1 é a média aritmética entre a n e α a n . Observe, ainda que se a n for uma aproximação por falta de α , então α a n será uma aproximação por excesso e vice-versa) Mostre que, para todo n ≥ 1 , tem-se

a) a n 2 ≥ α

Passo 1

Faaala ae, beleza? Vamos com calma nessa questão, ok? Vem comigo!

Bom, então nós temos um número α , que é real e positivo, ou seja, α ∈ R , tal que α > 0 .

Além disso, temos que n ≥ 1 . Logo, o valor inicial da sequência é quando n = 1 , que é o a 1 . Beleza?

E o problema quer que a gente mostre que, nessas condições:

a n 2 ≥ α

a n ≥ α

Passo 2

Agora, vamos fazer umas considerações. Vamos olhar para a n por:

a n + 1 = 1 2 a n + α a n

2 a n + 1 = a n + α a n

Hm, pra que isso? Preciso que você confie em mim agora. Quero que você imagine um x , que é um número real diferente de 0 , ok? Bom, com isso, nós sabemos que x 2 > 0 , certo? Pois qualquer número elevado ao quadrado é positivo.

Beleza, podemos dizer, também, que:

x - α x 2 ≥ 0

Isso porque temos um número ao quadrado e, se α = x 2 , teremos x - α x = 0 .

Show, e isso te lembra algo? Bom, x - α x 2 me lembra muito ao 2 a n + 1 = a n + α a n , que ao quadrado fica:

4 a n + 1 = a n + α a n 2

Guarde isso!

Passo 3

Então, vamos supor que a n = x , ou seja, a n é um número real diferente de 0 . Dessa forma, podemos dizer que:

x - α x 2 ≥ 0

E que:

x + α x 2 ≥ 4 a n + 1

Então, se α ≤ x 2 :

a n + 1 2 = x + α x 2 4 ≥ α

Passo 4

Além disso para todo real não nulo x , se α ≤ x 2 então

x + α x 2 4 ≤ x + x 2 4 = x 2

Como α ≤ a n + 1 2   para todo n ∈ N , segue-se que a n + 2 2 ≤ a n + 1 2

Isso significa que a n + 2 ≤ a n + 1 pois esses números são maiores ou igual a zero

Passo 5

Portanto, mesmo que tivéssemos escolhido:

a 1 < α

Valeria sempre

a 2 ≥ a 3 ≥ a 4 … .

Com

a n + 1 2 ≥ α

Portanto existe

c = lim n → ∞ ⁡ a n

Obteremos

lim n → ∞ ⁡ a n ≈ α

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n ≈ α

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