(Método dos babilônios para cálculo de raiz quadrada) Considere a sequencia , , dada por
Onde e são reais positivos dados. (Observe que é a média aritmética entre e . Observe, ainda que se for uma aproximação por falta de , então será uma aproximação por excesso e vice-versa) Mostre que, para todo , tem-se
a)
Passo 1
Faaala ae, beleza? Vamos com calma nessa questão, ok? Vem comigo!
Bom, então nós temos um número , que é real e positivo, ou seja, , tal que .
Além disso, temos que . Logo, o valor inicial da sequência é quando , que é o . Beleza?
E o problema quer que a gente mostre que, nessas condições:
Passo 2
Agora, vamos fazer umas considerações. Vamos olhar para por:
Hm, pra que isso? Preciso que você confie em mim agora. Quero que você imagine um , que é um número real diferente de , ok? Bom, com isso, nós sabemos que , certo? Pois qualquer número elevado ao quadrado é positivo.
Beleza, podemos dizer, também, que:
Isso porque temos um número ao quadrado e, se , teremos .
Show, e isso te lembra algo? Bom, me lembra muito ao , que ao quadrado fica:
Guarde isso!
Passo 3
Então, vamos supor que , ou seja, é um número real diferente de . Dessa forma, podemos dizer que:
E que:
Então, se :
Passo 4
Além disso para todo real não nulo , se então
Como para todo , segue-se que
Isso significa que pois esses números são maiores ou igual a zero
Passo 5
Portanto, mesmo que tivéssemos escolhido:
Valeria sempre
Com
Portanto existe
Obteremos