Seja α = 1 2 . A sequência a n = ∫ 1 n s e n   x α d x é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

Com a solução do exercício 15

∫ 1 n α 1 u α - 1 α s e n   u   d u =   1 u α - 1 α - cos ⁡ u 1 n α + α - 1 α ∫ 1 n α c o s   u u 2 α - 1 α d u

Fazendo a substituição de α = 1 2

a n = - 1 u - 1 cos ⁡ u 1 n + ∫ 1 n cos ⁡ u u 0 d u

Aplicando os limites de integração

a n = - n cos ⁡ n + cos ⁡ 1 - ∫ 1 n cos ⁡ u d u

Por fim

a n = - n cos ⁡ n + cos ⁡ 1 - s e n   n + s e n   1

Passo 2

Vamos fazer uma analogia com a sequencia k n

Sendo esta

k 1 = 31   ,   k 2 = 314   ,   k 3 = 3141 , … .

Dessa forma k n é igual ao produto de 10 n pela aproximação de π com n casas

Então

lim n → ∞ ⁡ k n 2 cos ⁡ k n 2 =   + ∞

Se outra sequencia p n for construída de números naturais então

lim n → ∞ ⁡ p n 2 cos ⁡ p n 2 =   - ∞

Passo 3

Dessa forma a nossa sequencia

a n = - n cos ⁡ n + cos ⁡ 1 - s e n   n + s e n   1

É DIVERGENTE

Resposta

A sequencia a n é DIVERGENTE

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