(Produto de Wallis) Mostre que, para todo natural n , tem-se

Letra c)

2 n + 1 2 n + 2 ≤ ∫ 0 π 2 s e n 2 n + 1 x d x ∫ 0 π 2 s e n 2 n x d x ≤ 1

Passo 1

Aqui vamos utilizar um pouco da analise feito na l e t r a   a dessa questão. Onde por meio dos artifícios daquela questão podemos chegar a conclusão de que:

∫ 0 π 2 s e n 2 n + 2 x d x = 2 n + 1 2 n + 2 ⋅ ∫ 0 π 2 s e n 2 n x d x

Desta forma a primeira razão do enunciado é igual a:

2 n + 1 2 n + 2 = ∫ 0 π 2 s e n 2 n + 2 x d x ∫ 0 π 2 s e n 2 n x d x

Passo 2

Fazendo a substituição da equação do enunciado.

∫ 0 π 2 s e n 2 n + 2 x d x ∫ 0 π 2 s e n 2 n x d x ≤ ∫ 0 π 2 s e n 2 n + 1 x d x ∫ 0 π 2 s e n 2 n x d x

Simplificando os denominadores.

∫ 0 π 2 s e n 2 n + 2 x d x ≤ ∫ 0 π 2 s e n 2 n + 1 x d x

Resposta

Como estas integrais vão de zero a π / 2 o seno dica limitado a valores iguais ou menores que 1 .

Sendo assim:

∫ 0 π 2 s e n 2 n + 2 x d x ≤ ∫ 0 π 2 s e n 2 n + 1 x d x ≤ 1

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