(Método dos babilônios para cálculo de raiz quadrada) Considere a sequencia , , dada por
Onde e são reais positivos dados. (Observe que é a média aritmética entre e . Observe, ainda que se for uma aproximação por falta de , então será uma aproximação por excesso e vice-versa) Mostre que, para todo , tem-se
c)
Passo 1
Se subtrairmos:
Da sequencia dada no inicio do problema, ficaremos com.
Que ainda assim é um valor positivo. Colocando em evidencia
Passo 2
Como subtraímos uma parcela da primeira sequencia esta é menor ou a:
Que é menor que a metade do termo anterior
Resposta
Assim sucessivamente. Contudo o primeiro termo desta sequencia é pois . Dessa forma ficaremos com: