(Método dos babilônios para cálculo de raiz quadrada) Considere a sequencia a n , n ≥ 0 , dada por

a n + 1 = 1 2 a n + α a n

Onde a 0 e α são reais positivos dados. (Observe que a n + 1 é a média aritmética entre a n e α a n . Observe, ainda que se a n for uma aproximação por falta de α , então α a n será uma aproximação por excesso e vice-versa) Mostre que, para todo n ≥ 1 , tem-se

c) 0 ≤ a n + 1 - α a n + 1 ≤ 1 2 n a 1 - α a 1

Passo 1

Se subtrairmos:

α a n + 1

Da sequencia dada no inicio do problema, ficaremos com.

a n + 1 -   α a n + 1 = 1 2 a n + α a n -   α a n + 1

Que ainda assim é um valor positivo. Colocando α a n em evidencia

1 2 a n - α a n + α a n -   α a n + 1

Passo 2

Como subtraímos uma parcela da primeira sequencia esta é menor ou a:

1 2 a n - α a n + α a n -   α a n + 1 ≤ 1 2 a n - α a n

Que é menor que a metade do termo anterior

1 2 a n - α a n ≤ 1 2 ⋅ 1 2 a n - 1 - α a n - 1

Resposta

Assim sucessivamente. Contudo o primeiro termo desta sequencia é a 1 pois n ≥ 1 . Dessa forma ficaremos com:

a n + 1 -   α a n + 1 ≤ 1 2 n a 1 - α a 1

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