Resolva pelo processo que achar mais conveniente

y^' = (2 x + 3 y)/(y - 3 x)

Passo 1

E aqui estamos, começando mais uma questão super interessante !!

Vamos reescrever esta equação:

(d y)/(d x) = (2 x + 3 y)/(y - 3 x)

(2 x + 3 y) d x - (y - 3 x) d y = 0

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = 2 x + 3 y

Q (x , y) = 3 x - y

Derivando P em y e Q em x:

P_y = 3

Q_x = 3

Como elas são iguais a igualdade (2 x + 3 y) d x - (y - 3 x) d y = 0 tem solução exata!!

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = 2 x + 3 y

(d phi)/(d y) = 3 x - y

Olhando a primeira condição:

d phi = (2 x + 3 y) d x

E integrando:

phi = x^2 + 3 x y

Olhando a segunda condição:

d phi = (3 x - y) d y

E integrando:

phi = 3 x y - (y^2)/(2)

Ou melhor:

phi = x^2 + 3 x y - (y^2)/(2)

Portanto nós concluímos que a igualdade (2 x + 3 y) d x - (y - 3 x) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x^2 + 3 x y - (y^2)/(2) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi (x , y) = x^2 + 3 x y - (y^2)/(2)

Ver Outros Exercícios desse livro