Mostre que a elipse e a hipérbole são trajetórias ortogonais se e (logo, a elipse e a hipérbole possuem os mesmos focos).
Passo 1
Uma vez que , temos a certeza de que existem quatro pontos de interseção:
Passo 2
Temos que:
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Ficamos com:
Isso implica que:
Isolando , temos que:
(1)
Passo 3
Agora, fazendo:
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Ficamos com:
Isso implica que:
Isolando :
(2)
Passo 4
Agora, fazendo: :
(3)
Passo 5
E subtraindo as equações , temos que:
Isso implica que:
(4)
Passo 6
Desde que:
Nós temos que:
Então, a equação (4) se torna:
E substituindo na equação (3), temos que:
Portanto, a elipse e a hipérbole são trajetórias ortogonais.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)