Enunciado

8. Esboce o gráfico de uma função que seja continua exceto para a descontinuidade declarada.

Não é continua à direita nem à esquerda em -2; contínua somente à esquerda em 2

Passo 1

Olá, meu querido colega. Pronto para mais uma resolução?!

Veja bem, aqui a gente quer encontrar uma função que não é continua em apenas um ponto. Que é o que nos foi dito no enunciado. Mas antes de tudo, o que é uma função continua?

Uma função continua tem os seguintes critérios atendidos:

1. f c está definido.

2. O limite de f x quando x se aproxima de c a partir de ambos os lados é igual a f c . Matematicamente, isso é expresso como:

lim x → c + ⁡ f x = lim x → c - ⁡ f x = f c

3. A função f ( x ) está definida para todos os pontos em um intervalo aberto em torno de c .

Em outras palavras, não há saltos, lacunas ou quebras abruptas nos gráficos de funções contínuas. Elas podem ter curvas suaves, linhas retas ou até mesmo funções mais complexas, mas a característica essencial é que elas não têm descontinuidades.

Como queremos que nossa função não seja continua nem a esquerda nem a direita do ponto - 2 , vamos podemos fazer uma função definida por diversas equações.

Passo 2

Como a função só é continua a esquerda, devemos ter então:

lim x → 2 - ⁡ f ( 2 ) = f ( 2 )

Então ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda, deveremos ter o valor da função e do limite iguais. E para - 2 podemos ter uma definição única da função para aquele ponto.

Podemos então pensar na seguinte função:

f x = 1 ,   x < - 2 3 ,   x = 2 1 ,   - 2 < x ≤ 2 2 ,   x > 2

Temos então o gráfico:

Onde em f ( - 2 ) temos um salto para determinar o valor da função naquele ponto, mas o limite é outro, gerando a descontinuidade pedida. Algo parecido ocorre em f ( 2 ) mas dessa vez temos a continuidade pedida para 2 - .

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

22. Encontre os pontos x, se houver, nos quais f não é contínua. f x = 3 x - 1,x ≠ 13 , x = 1
23-28. Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.24. Se f x for contínua em x=c, então f x também é.
23-28. Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.26. Se f e g forem descontínuas em x=c, então fg também é.
40. Prove que f x = 1 / x 4 + 7 x 2 + 1 2 é contínua em toda parte, justificando cuidadosamente cada passo.
47. Mostre que a equação x 3 + x 2 - 2 x = 1 tem, no mínimo, uma solução no intervalo - 1,1 .