Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios de Revisão - Ex. 4
Mostre que, se uma população cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer tempo, então o tempo de duplicação da população é , em que é a taxa positiva de crescimento. Essa é a conhecida Lei de Malthus.
Passo 1
Então pessoal, de acordo com o que vimos no capítulo 3, a equação que define o crescimento populacional é:
No qual , que é a população inicial. Isolando as variáveis, teremos:
Integrando:
Que nos dá como resultado:
Passo 2
Agora que encontramos vamos aplicar a condição inicial, saca só:
Substituindo na nossa solução, teremos:
O tempo de duplicação da população acontecerá para , logo:
Aplicando em ambos os lados, teremos:
Que é exatamente a expressão que queríamos encontrar! 😉
Resposta
Demonstração.
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