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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 14c

Mostre que:

(c) ∑ k = 0 ∞ 1 4 k + 1 4 k + 5 4 k + 9 = 1 40

Passo 1

Repare que:

1 4 k + 1 4 k + 5 - 1 4 k + 1 4 k + 9

Por mínimo múltiplo comum:

4 k + 9 - 4 k + 5 4 k + 1 4 k + 9 4 k + 5 = 4 4 k + 1 4 k + 9 4 k + 5

= 4 1 4 k + 1 4 k + 9 4 k + 5  

Então podemos reescrever da seguinte forma:

1 4 k + 1 4 k + 9 4 k + 5 = 1 4 1 4 k + 1 4 k + 5 - 1 4 k + 1 4 k + 9

Dessa forma fica mais fácil abrir o somatório.

Passo 2

Portanto:

∑ k = 0 ∞ 1 4 k + 1 4 k + 5 4 k + 9 = 1 4 ∑ k = 0 ∞ 1 4 k + 1 4 k + 5 - 1 4 k + 1 4 k + 9

Passo 3

Abrindo a soma:

1 4 ∑ k = 0 ∞ 1 4 k + 1 4 k + 5 - 1 4 k + 1 4 k + 9 =

= 1 4 1 5 - 1 9 ⏟ k = 0 + 1 45 - 1 65 ⏟ k = 1 + 1 117 - 1 153 ⏟ k = 2 + 1 221 - 1 273 ⏟ k = 3 + … ≅ 0,02465

Note que quanto mais termos tomamos, mais próximos de 0,025 chegamos.

Sabendo que:

1 40 = 0,025

Resposta

Temos então que:

∑ k = 0 ∞ 1 4 k + 1 4 k + 5 4 k + 9 ≅ 0,025 ≅ 1 40

Ver Outros Exercícios desse livro