Mostre que:

(c) sum_(k = 0)^(oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 5) (4 k + 9)) = (1)/(40)

Passo 1

Repare que:

[(1)/((4 k + 1) (4 k + 5)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 9))]

Por mínimo múltiplo comum:

((4 k + 9) - (4 k + 5))/((4 k + 1) (4 k + 9) (4 k + 5)) = (4)/((4 k + 1) (4 k + 9) (4 k + 5))

= 4 [(1)/((4 k + 1) (4 k + 9) (4 k + 5))]

Então podemos reescrever da seguinte forma:

(1)/((4 k + 1) (4 k + 9) (4 k + 5)) = (1)/(4) [(1)/((4 k + 1) (4 k + 5)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 9))]

Dessa forma fica mais fácil abrir o somatório.

Passo 2

Portanto:

sum_(k = 0)^(oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 5) (4 k + 9)) = (1)/(4) sum_(k = 0)^(oo) [(1)/((4 k + 1) (4 k + 5)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 9))]

Passo 3

Abrindo a soma:

(1)/(4) sum_(k = 0)^(oo) [(1)/((4 k + 1) (4 k + 5)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 9))] =

= (1)/(4) [underset(k = 0)(ubrace ((1)/(5) - (1)/(9))) + underset(k = 1)(ubrace ((1)/(45) - (1)/(65))) + underset(k = 2)(ubrace ((1)/(117) - (1)/(153))) + underset(k = 3)(ubrace ((1)/(221) - (1)/(273))) + ...] tilde= 0,02465

Note que quanto mais termos tomamos, mais próximos de 0,025 chegamos.

Sabendo que:

(1)/(40) = 0,025

Resposta

Temos então que:

sum_(k = 0)^(oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 5) (4 k + 9)) tilde= 0,025 tilde= (1)/(40)

Ver Outros Exercícios desse livro