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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 13.8 - Ex. 12

12. Seja h : I → R uma função dada e de classe C 2 no intervalo aberto I , com h x ≠ 0 para todo x ∈ I . Considere a equação y ' ' = h ' ' x h x y .

A - Verifique que φ 1 x = h x é uma solução

B - Determine a solução geral.

Passo 1

L e t r a   A :

Poxa, se φ 1 x = h x é uma solução, então podemos derivar e substituir que ele vai funcionar de boas, não concorda?

Então...

φ 1 ' x = h ' x

E...

φ 1 ' ' x = h ' ' x

Substituindo então na EDO, trocando y por φ 1 e y ' ' por φ ' ' :

y ' ' = h ' ' x h x y   →

h ' ' x = h ' ' x h x h x →

1 = 1

ORA! Como não chegamos a nenhuma contradição, afinal 1 é de fato igual a 1 , haha. Então, h é mesmo uma solução da EDO!

Passo 2

L e t r a   B :

Sabemos que antes de determinarmos a solução geral, temos que encontrar a outra solução y desse problema! Usando a lei de Abel Liouville...

φ 1 y φ 1 ' y ' = e - ∫ p x d x

Onde φ 1 = φ 1 x ou seja, a função h x (vamos deixar só como h para simplificar a notação, beleza):

h y h ' y ' = e - ∫ p x d x

p x nesse caso é 0 , já que não temos nenhum y ' na EDO, saca?

h y h ' y ' = e 0   →

h y h ' y ' = 1

Calculando esse determinante então...

h y ' - y h ' = 1   →

y ' - h ' h y = 1 h

Chagamos a uma EDO de 1 ª Ordem! Vamos resolvê-la?

Passo 3

Poxa, a solução de um EDO dessa aí é pela teoria resolvida pelo fator integrante I x :

y = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Como queremos uma solução fundamental, podemos considerar a constante C = 0 (ou simplesmente desconsidera-la, saca?).

y = 1 I x ∫ I x B x d x

Onde I x = e ∫ A x d x . No nosso caso, A x e B x são as funções:

y ' - h ' h y = 1       →               A x = - h ' h             e           B x = 1

Então...

I x = e - ∫ h ' h d x

Poxa, quem é essa integral aí?

∫ h ' h d x = ?

Se fizermos uma substituição simples:

u = h x

O d u vai ser...

d u = h ' x d x

Então...

∫ h ' h d x = ∫ 1 u d u =

ln ⁡ u =

ln ⁡ h

Saca?

Então, o fator integrante será...

I x = e - ∫ h ' h d x   →

I x = e - ln ⁡ h   →

I x = e ln ⁡ h - 1   →

I x = h - 1 =

1 h

Como o nosso B x = 1 / h , a solução vai ser:

y = 1 I x ∫ I x B x d x   →

y = 1 1 / h ∫ 1 h d x →

y = h ∫ 1 h 2 d x

Como não conhecemos h x , não dá para resolver essa integral, então podemos parar por aqui!

Passo 4

Só falta mesmo agora dar a solução geral, né? De acordo com a teoria...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2

Onde y 1 e y 2 são as duas soluções fundamentais que encontramos, ou seja:

y 1 = h x       ( O b t i d a   n o   p a s s o   1 )

y 2 = h x ∫ 1 h 2 x d x           ( O b t i d a   n o   p a s s o   3 )

Então...

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x

Resposta

Letra A: Questão de demonstração

Letra B:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x

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