12. Seja uma função dada e de classe no intervalo aberto , com para todo . Considere a equação .
A - Verifique que é uma solução
B - Determine a solução geral.
Passo 1
Poxa, se é uma solução, então podemos derivar e substituir que ele vai funcionar de boas, não concorda?
Então...
E...
Substituindo então na EDO, trocando por e por :
ORA! Como não chegamos a nenhuma contradição, afinal é de fato igual a , haha. Então, é mesmo uma solução da EDO!
Passo 2
Sabemos que antes de determinarmos a solução geral, temos que encontrar a outra solução desse problema! Usando a lei de Abel Liouville...
Onde ou seja, a função (vamos deixar só como para simplificar a notação, beleza):
nesse caso é , já que não temos nenhum na EDO, saca?
Calculando esse determinante então...
Chagamos a uma EDO de Ordem! Vamos resolvê-la?
Passo 3
Poxa, a solução de um EDO dessa aí é pela teoria resolvida pelo fator integrante :
Como queremos uma solução fundamental, podemos considerar a constante (ou simplesmente desconsidera-la, saca?).
Onde . No nosso caso, e são as funções:
Então...
Poxa, quem é essa integral aí?
Se fizermos uma substituição simples:
O vai ser...
Então...
Saca?
Então, o fator integrante será...
Como o nosso , a solução vai ser:
Como não conhecemos , não dá para resolver essa integral, então podemos parar por aqui!
Passo 4
Só falta mesmo agora dar a solução geral, né? De acordo com a teoria...
Onde e são as duas soluções fundamentais que encontramos, ou seja:
Então...
Resposta
Letra A: Questão de demonstração
Letra B: