Utilizando a identidade t g ( x + y ) = (t g x + t g y)/(1 - t g x . t g y) prove que (pi)/(4) = a r c t g (1)/(2) + a r c t g (1)/(3) .

Passo 1

Preparados para continuar?

Então siiimbora !!

Sabemos que:

t g ( x + y ) = (t g x + t g y)/(1 - t g x . t g y)

Para tirar a tg do lado esquerdo, aplicamos o arc tg no termo da direita, certo?

x + y = a r c t g ((t g x + t g y)/(1 - t g x . t g y))

Se queremos saber o resultado da soma a r c t g (1)/(2) + a r c t g (1)/(3) , vamos chamar:

x = a r c t g (1)/(2)

y = a r c t g (1)/(3)

Fazendo o processo inverso:

t g x = (1)/(2)

t g y = (1)/(3)

Colocando tudo isso na fórmula acima:

a r c t g (1)/(2) + a r c t g (1)/(3) = a r c t g (((1)/(2) + (1)/(3))/(1 - (1)/(2) . (1)/(3)))

a r c t g (1)/(2) + a r c t g (1)/(3) = a r c t g (1)

Calculando:

a r c t g (1) = 45 ° = (pi)/(4)

Concluindo que:

a r c t g (1)/(2) + a r c t g (1)/(3) = (pi)/(4)

Resposta

a r c t g (1)/(2) + a r c t g (1)/(3) = (pi)/(4)

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