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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 8

Utilizando a identidade t g ( x + y ) = t g   x + t g   y 1 - t g   x . t g   y prove que π 4 = a r c   t g 1 2 + a r c   t g 1 3 .

Passo 1

Preparados para continuar?

Então siiimbora !!

Sabemos que:

t g ( x + y ) = t g   x + t g   y 1 - t g   x . t g   y

Para tirar a tg do lado esquerdo, aplicamos o arc tg no termo da direita, certo?

x + y = a r c   t g   t g   x + t g   y 1 - t g   x . t g   y

Se queremos saber o resultado da soma a r c   t g 1 2 + a r c   t g 1 3 , vamos chamar:

x = a r c   t g 1 2

y = a r c   t g 1 3

Fazendo o processo inverso:

t g   x = 1 2

t g   y = 1 3

Colocando tudo isso na fórmula acima:

a r c   t g 1 2 + a r c   t g 1 3 = a r c   t g   1 2 + 1 3 1 - 1 2 . 1 3

a r c   t g 1 2 + a r c   t g 1 3 = a r c   t g   1

Calculando:

a r c   t g   1 = 45 ° = π 4

Concluindo que:

a r c   t g 1 2 + a r c   t g 1 3 = π 4

Resposta

a r c   t g 1 2 + a r c   t g 1 3 = π 4

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