Suponha a n > 0 , n ≥ 1 , e que l i m n → + ∞ a n = a . Prove que l i m n → + ∞ a 1 a 2 a 3 … a n n = a

Sugestão: Utilize o exemplo 8 e a identidade x = e ln ⁡ x

Passo 1

Como

a 1 a 2 a 3 … a n n = a 1 a 2 a 3 … a n 1 / n

Podemos chamar o produto a 1 a 2 a 3 … a n = x . Sendo assim

a 1 a 2 a 3 … a n 1 / n = e 1 n ln ⁡ a 1 a 2 a 3 … a n

Implica em

e 1 n ln ⁡ a 1 a 2 a 3 … a n = e ln ⁡ a 1 + ln ⁡ a 2 + ln ⁡ a 3 + … + ln ⁡ a n

Passo 2

O limite

l i m n → + ∞ ln ⁡ a n = ln ⁡ l i m n → + ∞ a n = ln ⁡ a n

Então

l i m n → + ∞ ln ⁡ a 1 + ln ⁡ a 2 + … + ln ⁡ a n   n = ln ⁡ a

Portanto

l i m n → + ∞ a 1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ⋅ … ⋅ a n = e ln ⁡ a = l i m n → + ∞ a n

Resposta

l i m n → + ∞ a 1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ⋅ … ⋅ a n = e ln ⁡ a = l i m n → + ∞ a n

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