Mostre que a série é divergente.

sum_(n = 1)^(+ oo) (n^n)/(n ! e^n)

Passo 1

Meus pimpolhos, para cumprir o que a questão nos pede, vamos fazer uso do critério de Raabe, para a série:

sum_(n = 1)^(+ oo) a_n

L = underset(n -> + oo)(lim) n (1 - (a_n + 1)/(a_n))

a) L > 1 o u L = + oo => a série é convergente.

b) L < 1 o u L = - oo => a série é divergente

c) L = 1 o critério é inconclusivo.

Mãos na massa:

L = underset(n -> + oo)(lim) n (1 - (((n + 1)^(n + 1))/((n + 1) ! e^(n + 1)))/((n^n)/(n ! e^n))) = underset(n -> + oo)(l i m) n (1 - ((n + 1)^n)/(e . n^n))

underset(n -> + oo)(l i m) n (1 - ((1 + (1)/(n))^n)/(e)) = underset(n -> + oo)(l i m) (n - (n (1 + (1)/(n))^n)/(e)) = underset(n -> + oo)(l i m) (n - (n . e)/(e)) = L = 0 < 1

O que nos garante que a série é divergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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