Mostre que as séries dadas são convergentes. Justifique

∑ n = 0 + ∞ e - n 2 - 3

Passo 1

Recordar é viver, ou no nosso caso, estudar hahaha. A série Geométrica é dada por

∑ n = 1 + ∞ r n

Na qual, se r < 1 , então temos que nossa série é convergente, além de convergi para

1 1 - r

Se r > 1 então a série diverge.

Além disso, Critério da comparação. Sejam as séries ∑ k = 0 + ∞ a k e ∑ k = 0 + ∞ b k . Suponha que exista um um natural p tal que, para todo k ≥ p , 0 ≤ a k ≤ b k . Nesta condições, tem-se:

i ∑ k = 0 + ∞ b k   c o n v e r g e n t e   ⟹ ∑ k = 0 + ∞ a k   c o n v e r g e n t e

( i i )   ∑ k = 0 + ∞ a k   d i v e r g e n t e   ⟹ ∑ k = 0 + ∞ a k   d i v e r g e n t e

Passo 2

Vamos então analisar nossa série e escreve-la como

∑ n = 0 + ∞ e - n 2 - 3 = ∑ n = 0 + ∞ 1 e n 2 + 3

Com nosso r = 1 / e   < 1

Tome ainda o seguinte

∑ n = 0 + ∞ 1 e n 2 + 3 < ∑ n = 0 + ∞ 1 e n 2 = ∑ n = 0 + ∞ 1 e n n

Ou seja

Com a nova série, que é maior que a nossa série original, com r = 1 / e n < 1

Logo, pela série geométrica, temos que

∑ n = 0 + ∞ 1 e n n

É convergente

Logo pelo critério da comparação

∑ n = 0 + ∞ 1 e n 2 + 3

Também deverá ser convergente.

Resposta

convergente

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