16. Olhando para o Exercício 14. Resolva a equação dada:

c )   x 2 y ' ' + k 2 x 3 - 5 16 y = 0 ,   x > 0

Passo 1

Bem, sabemos do exercício 14 que a EDO com esse formato aqui:

y ' ' = g x y

Onde g x é uma função como esta aqui:

g x = h ' ' x h x - k 2 h x 4

Então a solução da EDO pode ser dada por...

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x

Onde p x é tal que p ' x = k h x 2 , x ∈ I .

Passo 2

Show! Então vamos ver quem é a nossa função h x que satisfaça aquela condição da função g . Be,, vamos começar colocando a nossa EDO no formato padrão...

x 2 y ' ' + k 2 x 3 - 5 16 y = 0   →

x 2 y ' ' = - k 2 x 3 - 5 16 y →

y ' ' = - k 2 x 3 - 5 16 x 2 y →

y ' ' = 5 16 x 2 - k 2 x - 1 y

Repare que se escolhermos h x = x - 1 / 4 de fora que x - 1 / 4 4 = x - 1 ...

h x = x - 1 / 4   →

h ' x = - 1 4 x - 1 4 - 1 →

h ' x = - 1 4 x - 5 4

Então a segunda derivada...

h ' ' x = 5 16 x - 5 4 - 1 →

h ' ' x = 5 16 x - 9 4

Então, a função g será...

g x = h ' ' x h x - k 2 h x 4 →

g x = 5 16 x - 9 4 x - 1 / 4 - k 2 x - 1   →

g x = 5 16 x 2 - k 2 x - 1  

E que é exatamente a mesma da EDO! O que prova que a solução da nossa EDO será então assim:

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x →

y = x - 1 / 4 k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x

Passo 3

Falta ainda descobrir quem é o p x , neh? Pelo passo 1, sabemos que...

p ' x = k h x 2   →

p ' x = k x - 1 / 4 2   →

p ' x = k x - 1 2   →

p ' x = k x 1 / 2   →

Integrando de ambos lados...

∫ p ' x d x = ∫ k x 1 / 2 d x

p x = k 2 3 x 3 / 2

p x = 2 k 3 x 3 / 2

Passo 4

Belezinha, então podemos substituir na solução onde vamos obter...

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x →

y = x - 1 / 4 k 1 sin ⁡ 2 k 3 x 3 / 2 + k 2 cos ⁡ 2 k 3 x 3 / 2

Resposta

y = x - 1 / 4 k 1 sin ⁡ 2 k 3 x 3 / 2 + k 2 cos ⁡ 2 k 3 x 3 / 2

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