Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 14b

Mostre que:

(b) ∑ k = 0 + ∞ 1 4 k + 1 4 k + 3 4 k + 5 = π - 2 16

Passo 1

Repare que:

1 4 k + 1 4 k + 3 - 1 4 k + 1 4 k + 5

Por mínimo múltiplo comum:

4 k + 5 - 4 k + 3 4 k + 1 4 k + 3 4 k + 5 = 2 4 k + 1 4 k + 3 4 k + 5

= 2 1 4 k + 1 4 k + 3 4 k + 5  

Então podemos reescrever da seguinte forma:

1 4 k + 1 4 k + 3 4 k + 5 = 1 2 1 4 k + 1 4 k + 3 - 1 4 k + 1 4 k + 5

Dessa forma fica mais fácil abrir o somatório.

Passo 2

Portanto:

∑ k = 0 + ∞ 1 4 k + 1 4 k + 3 4 k + 5 = 1 2 ∑ k = 0 ∞ 1 4 k + 1 4 k + 3 - 1 4 k + 1 4 k + 5

Passo 3

Abrindo a soma:

1 2 ∑ k = 0 ∞ 1 4 k + 1 4 k + 3 - 1 4 k + 1 4 k + 5 =

= 1 2 1 3 - 1 5 ⏟ k = 0 + 1 2 1 35 - 1 45 ⏟ k = 1 + 1 2 1 99 - 1 117 ⏟ k = 2   + 1 2 1 195 - 1 221 ⏟ k = 3 + 1 2 1 323 - 1 357 ⏟ k = 4 + … +

≅ 0,070615

Note que quanto mais termos tomarmos, mais próximo de 0,071   chegamos.

Agora perceba que:

π - 2   16 ≅ 0,07135

Resposta

Portanto:

∑ k = 0 + ∞ 1 4 k + 1 4 k + 3 4 k + 5 ≅ 0,071 ≅ π - 2 16

Ver Outros Exercícios desse livro