Mostre que:

(b) sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5)) = (pi - 2)/(16)

Passo 1

Repare que:

[(1)/((4 k + 1) (4 k + 3)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 5))]

Por mínimo múltiplo comum:

((4 k + 5) - (4 k + 3))/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5)) = (2)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5))

= 2 [(1)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5))]

Então podemos reescrever da seguinte forma:

(1)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5)) = (1)/(2) [(1)/((4 k + 1) (4 k + 3)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 5))]

Dessa forma fica mais fácil abrir o somatório.

Passo 2

Portanto:

sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5)) = (1)/(2) sum_(k = 0)^(oo) [(1)/((4 k + 1) (4 k + 3)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 5))]

Passo 3

Abrindo a soma:

(1)/(2) sum_(k = 0)^(oo) [(1)/((4 k + 1) (4 k + 3)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 5))] =

= (1)/(2) underset(k = 0)(ubrace ((1)/(3) - (1)/(5))) + (1)/(2) underset(k = 1)(ubrace ((1)/(35) - (1)/(45))) + (1)/(2) underset(k = 2)(ubrace ((1)/(99) - (1)/(117))) + (1)/(2) underset(k = 3)(ubrace ((1)/(195) - (1)/(221))) + (1)/(2) underset(k = 4)(ubrace ((1)/(323) - (1)/(357))) + ... +

tilde= 0,070615

Note que quanto mais termos tomarmos, mais próximo de 0,071 chegamos.

Agora perceba que:

(pi - 2)/(16) tilde= 0,07135

Resposta

Portanto:

sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5)) tilde= 0,071 tilde= (pi - 2)/(16)

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