Mostre que, para x < 1 ,

ln ⁡ 1 + x 1 - x = 2 ∑ n = 0 + ∞ x 2 n + 1 2 n + 1

Sugestão: verifique que ∑ n = 0 + ∞ x 2 n = 1 1 - x ² , para x < 1 , e integre termo a termo de 0 a t.

Passo 1

Vamos começar mais uma seção ?

Então apertem os cintos !!

Vamos ter que ter algo em mente:

∫ x 2 n . d x = x 2 n + 1 2 n + 1

Sendo assim:

∫ ∑ n = 0 + ∞ x 2 n . d x = ∑ n = 0 + ∞ x 2 n + 1 2 n + 1

Então guardem esta informação!!

Nós sabemos que:

∫ 0 t ∑ n = 0 + ∞ x 2 n . d x = ∫ 0 t 1 1 - x ² . d x

Passo 2

Então tudo o que precisamos aqui é integrar a função ∫ 0 | t | 1 1 - x ² . d x .

Se:

1 1 - x ² = 1 2 1 1 - x + 1 1 + x

Podem conferir aí!!

Então:

1 2 ∫ 0 t 1 1 - x + 1 1 + x . d x = 1 2 ∫ 0 t 1 1 - x + 1 1 + x . d x = 1 2 - ln ⁡ 1 - x + ln ⁡ ( 1 + x )   | t o

= 1 2 ln ⁡ 1 + t 1 - t

Olhando para as igualdades do Passo 1:

1 2 ln ⁡ 1 + t 1 - t = ∑ n = 0 + ∞ x 2 n + 1 2 n + 1

ln ⁡ 1 + t 1 - t = 2 ∑ n = 0 + ∞ x 2 n + 1 2 n + 1

Legal ou não ?!

Resposta

ln ⁡ 1 + t 1 - t = 2 ∑ n = 0 + ∞ x 2 n + 1 2 n + 1

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