Seja α   um real dado, com α um não natural. Considere a equação diferencial linear de 1ª ordem:

y ' = α 1 + x y ,     x > - 1

  1. Verifique que a série

∑ n = 1 + ∞ α α - 1 … ( α - n + 1 ) n ! x n    

Tem raio de convergência R = 1 .

Passo 1

Olha galerinha, dessas que estamos vendo essa daqui é mais de boa ! kkkkkkk

O raio de convergência é dado por:

R = lim n → ∞ ⁡   a n a n + 1

Já sabemos que:

a n = α α - 1 α - 2 … ( α - n + 1 ) n !

E:

a n + 1 = α α - 1 α - 2 … ( α - ( n + 1 ) + 1 ) ( n + 1 ) ! = α α - 1 α - 2 … ( α - n ) n + 1 . n !

Substituindo:

R = l i m n → ∞   α α - 1 α - 2 … ( α - n + 1 ) n ! × n + 1 . n ! α α - 1 α - 2 … ( α - n )

Simplificando:

R = l i m n → ∞   n + 1 ( α - n ) = l i m n → ∞   1 + 1 n α n - 1 = 1 - 1 = 1

Então nosso raio de convergência será 1!!

Essa foi pra dar folêgo, galerinha !!

Bora continuar!!

Resposta

R = 1

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