10. a) Mostre que para todo β > 0 , com β ≠ 1 , existe um único α , com 0 < α < 1 , tal que β = 1 + α 1 - α .

Passo 1

Bem, primeiro, tenha em mente que α < 1 , significa só podemos ter um α dentro desse intervalo aqui:

- 1 < α < 1

E como 0 < α , isso significa basicamente que α deve ser diferente de 0 . Ou seja, os valores que realmente nos importa de α são esses daqui:

- 1 < α < 1         e           α ≠ 0

Agora vãos provar isso!

Passo 2

Há de concordar comigo que estará provado que só existe um α dentro do intervalo que satisfaz a função, se provar que a função é inteiramente crescente ou decrescente no intervalo, afinal uma função que só cresce ou decresce só pode ser um valor associado a outro, veja o exemplo se duvida disso:

Como a gente pode verificar quanto o crescimento de uma curva? Verificando a derivada da função:

β = 1 + α 1 - α

Aplicando a derivada em relação a α e tomando cuidado com a regra da fração...

d β d α = 1 + α ' 1 - α - 1 + α 1 - α ' 1 - α 2

Derivando esses termos...

d β d α = 1 - α + 1 + α 1 - α 2 =

2 1 - α 2

Ora!!! Para α nessas condições desse intervalo aqui:

- 1 < α < 1         e           α ≠ 0

A derivada é sempre positiva:

d β d α > 0

O que significa que β é sempre crescente com o valor de α indo de - 1 a 1 . O que significa que só existe de fato um valor de α associado a um β no intervalo, saca?

Resposta

Questão de demonstração.

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