16. Olhando para o Exercício 14. Resolva a equação dada:

b )   e 4 x y ' ' + k 2 - e 4 x y = 0

Passo 1

Bem, sabemos do exercício 14 que a EDO com esse formato aqui:

y ' ' = g x y

Onde g x é uma função como esta aqui:

g x = h ' ' x h x - k 2 h x 4

Então a solução da EDO pode ser dada por...

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x

Onde p x é tal que p ' x = k h x 2 , x ∈ I .

Passo 2

Show! Então vamos ver quem é a nossa função h x que satisfaça aquela condição da função g . Be,, vamos começar colocando a nossa EDO no formato padrão...

e 4 x y ' ' + k 2 - e 4 x y = 0   →

e 4 x y ' ' = - k 2 - e 4 x y →

y ' ' = - k 2 - e 4 x e 4 x y →

y ' ' = 1 - k 2 e 4 x y →

Repare que se escolhermos h x = e x de fora que e x 4 = e 4 x ...

h x = e x   →

h ' x = e x

h ' ' x = e x

Então, a função g será...

g x = h ' ' x h x - k 2 h x 4 →

g x = e x e x - k 2 e 4 x   →

g x = 1 - k 2 e x   →

E que é exatamente a mesma da EDO! O que prova que a solução da nossa EDO será então assim:

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x →

y = e x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x

Passo 3

Falta ainda descobrir quem é o p x , neh? Pelo passo 1, sabemos que...

p ' x = k h x 2   →

p ' x = k e x 2   →

p ' x = k e 2 x  

Integrando de ambos lados...

∫ p ' x d x = ∫ k e - 2 x d x

p x = k e - 2 x - 2 →

p x = - k 2 e 2 x

Passo 4

Belezinha, então podemos substituir na solução onde vamos obter...

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x →

y = e x k 1 sin ⁡ - k 2 e 2 x + k 2 cos ⁡ - k 2 e 2 x →

POXA! Essa ainda não é a solução final. Será que erramos?

NÃO! Acontece que o cosseno de ângulo com menos é o mesmo do ângulo positivo. O seno, entretanto será negativo:

y = e x - k 1 sin ⁡ k 2 e 2 x + k 2 cos ⁡ k 2 e 2 x →

Como k 1 é uma constante que não conhecemos, podemos falar que - k 1 é k 1 mesmo:

y = e x k 1 sin ⁡ k 2 e 2 x + k 2 cos ⁡ k 2 e 2 x

Resposta

y = e x k 1 sin ⁡ k 2 e 2 x + k 2 cos ⁡ k 2 e 2 x

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