Mostre que, para todo natural p ≥ 1

π 2 6 = ∑ k = 1 p 1 k 2 + p ! ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 k + 1 k + 2 … ( k + p )

Sugestão: veja o Exemplo 6 e Exercício 1i. Lembre-se, ainda, de que π 2 6 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 .

Passo 1

Vamos seguindo galerinha??

De acordo com o exemplo 6 nós vimos que:

π 2 6 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2

1 = ∑ k = 1 ∞ 1 k ( k + 1 )

Então:

π 2 6 - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 - ∑ k = 1 ∞ 1 k ( k + 1 )

π 2 6 - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 - 1 k k + 1

π 2 6 - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 k + 1

Por isso, a equação acima é válida para p = 1 . Se vale para p então nós podemos assumir que também é verdadeira para p + 1 .

Mas precisamos comprovar, ok?

Sabemos dos exercícios anteriores que:

∑ k = 1 ∞ 1 k k + 1 k + 2 … ( k + p ) = 1 p + 1 ∑ k = 1 ∞ b k - b k + 1

Se nós definirmos:

b k = 1 k k + 1 k + 2 … ( k + p )

Quando k = 1 :

b 1 = 1 p + 1 !

A próxima série que temos é:

b k + 1 = 1 k k + 1 k + 2 … ( k + p + 1 ) = 1 ( p + 1 ) p + 1 ! = 1 ( p + 1 ) p + 1 p ! = 1 p + 1 2 p !

Se nós substituirmos:

π 2 6 - p ! 1 p + 1 2 p ! = π 2 6 - p ! ∑ k = 1 ∞ 1 k k + 1 k + 2 … ( k + p + 1 )

Substituindo π 2 6 :

= ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 + p ! ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 k + 1 k + 2 … ( k + p ) - p ! ∑ k = 1 ∞ 1 k k + 1 k + 2 … ( k + p + 1 )

= ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 + p ! ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 k + 1 k + 2 … k + p k + p + 1 - 1 k k + 1 k + 2 … k + p + 1

= ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 + p ! ∑ k = 1 ∞ p + 1 k 2 k + 1 k + 2 … k + p k + p + 1

= ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 + p ! ( p + 1 ) ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 k + 1 k + 2 … k + p k + p + 1

= ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 + p + 1 ! ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 k + 1 k + 2 … k + p k + p + 1

Então a equação é valida para p e para p + 1 , ou melhor vale para todo e qualquer número que pertence ao conjunto dos números naturais, com p ≥ 1 .

Assumo que esta é um pouco confusa, mas com calma nós conseguimos, não foi?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼  

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