2 - O movimento de uma partícula no espaço é regido pela equação:

x ˙ = - y y ˙ = x z ˙ = - z  

Determine a trajetória da partícula sabendo que no instante t = 0 ela se encontra na posição 1 ,   0 ,   1 .

Passo 1

A primeira coisa que deve ser feita aqui é determinar a solução desse sistema!

Montando a matriz dos coeficientes A baseado no sistema então, obteremos:

A = 0 - 1 0 1 0 0 0 0 - 1

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores λ de uma matriz são do tipo:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair λ na diagonal principal da matriz A , veja:

det ⁡ 0 - λ - 1 0 1 0 - λ 0 0 0 - 1 - λ = 0

O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?

  ⁡ - λ - 1 0 1 - λ 0 0 0 - 1 - λ - λ - 1   1 - λ   0 0   = 0     →

- λ 2 - 1 - λ + - 1 - λ = 0

Simplificando isso aí...

- λ 2 - 1 - λ + - 1 - λ = 0   →

- 1 - λ λ 2 + 1 = 0

Essa equação só pode ser 0 quando...

- 1 - λ = 0       o u         λ 2 + 1 = 0

Então, se a solução dessa equação é um desses valores aqui:

λ 1 = - 1 ,             λ 2 =   ± i      

Onde i é o número imaginário - 1 .

O conjunto de soluções fundamentais x k para cada um deles vão ser:

  • Para o λ 1 que é real e único...
  • x 1 = v 1 e λ 1 t

  • Para λ 2 que é um número complexo conjugado...

x 2 = e a t α → cos ⁡ b t - β → sin ⁡ b t

x 3 = e a t α → sin ⁡ b t + β → cos ⁡ b t

a e b vem do autovalor complexo:

λ = a ± b i

No nosso caso:

λ = ± i             →                 a = 0             e         b = 1

Portanto...

x 2 = α → cos ⁡ t - β → sin ⁡ t

x 3 = α → sin ⁡ t + β → cos ⁡ t

α → e β → vem do autovetor v → complexo ( α → é a parte real e β → o imaginário). Vamos então determinar todos esses autovetores v → !

Passo 3

AUTOVETOR 1 - REAL:

A - λ 1 I v 1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

a b c

Onde a , b e c são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

A - λ 1 I a b c = 0

Lembre-se de que menos λ I nada mais é do que subtrair λ da diagonal principal:

- λ 1 - 1 0 1 - λ 1 0 0 0 - 1 - λ 1 a b c = 0

Como λ 1 = - 1 ...

1 - 1 0 1 1 0 0 0 0 a b c = 0   →

Resolvendo esse produto matricial aí...

a - b = 0 a + b = 0 0 = 0

Das duas primeiras equações, pegando a de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...

2 a = 0   →         a = 0

Então...

b = - a = 0

Se escolhermos c = 1 , já que não nenhuma restrição sobre c (apenas a restrição de que ele não pode ser 0 )...

v 1 = 0 0 1

Passo 4

AUTOVETOR 2 - COMPLEXO:

Agora sim vamos ver quem são aqueles α e β que te fale ali no passo retrasado! Mas não s e preocupe, a forma de se resolver basicamente é a mesma (a diferença é que são números complexos agora!):

A - λ 2 I v 2 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

a b c

Onde a , b e c são os valores complexos das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

A - λ 2 I a b c = 0

Lembre-se de que menos λ I nada mais é do que subtrair λ da diagonal principal:

- λ 2 - 1 0 1 - λ 2 0 0 0 - 1 - λ 2 a b c = 0

Como λ 2 = ± i (por vias de cálculo, podemos trabalhar apenas com o lado positivo, oi seja, λ 2 = i )...

- i - 1 0 1 - i 0 0 0 - 1 - i a b c = 0   →

Resolvendo esse produto matricial aí...

- i a - b = 0 a - i b = 0 c - 1 - i = 0

Da última equação...

c = 0

Das duas primeiras equações, se isolarmos a ...

a = i b

E agora escolher algum valor para b , tipo b = 1 , perceba que a = i .

v 2 = i 1 0

Separando esse vetor em parte real e parte complexa...

v 2 = 0 1 0 + 1 0 0 i

A parte real é o α :

α → = 0 1 0

Já a parte imaginária...

β = 1 0 0

Passo 5

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = α → cos ⁡ t - β → sin ⁡ t

x 3 = α → sin ⁡ t + β → cos ⁡ t

Substituindo...

x 1 = 0 0 1 e - t

x 2 = 0 1 0 cos ⁡ t - 1 0 0 sin ⁡ t

x 3 = 0 1 0 sin ⁡ t + 1 0 0 cos ⁡ t

A solução final é então dada pela expressão:

x y z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3   →

x y z = c 1 0 0 1 e - t + c 2 0 1 0 cos ⁡ t - 1 0 0 sin ⁡ t + c 3 0 1 0 sin ⁡ t + 1 0 0 cos ⁡ t

Passo 6

Antes que terminemos o nosso problema, o nosso problema nos informou o ponto de partida da partícula em t = 0 :

1 ,   0 ,   1

Isso significa que x 0 = 1 , y 0 = 0 e z 0 = 1 .

Substituindo aqui na solução...

x y z = c 1 0 0 1 e 0 + c 2 0 1 0 cos ⁡ 0 - 1 0 0 sin ⁡ 0 + c 3 0 1 0 sin ⁡ 0 + 1 0 0 cos ⁡ 0   →

x y z = c 1 0 0 1 + c 2 0 1 0 + c 3 1 0 0   →

Escrevendo isso de outra forma...

x = c 3 y = c 2 z = c 1

Trocando os valores iniciais agora...

1 = c 3 0 = c 2 1 = c 1

Ou seja, a solução real da trajetória de nossa partícula é:

x y z = 0 0 1 e - t + 0 1 0 sin ⁡ t + 1 0 0 cos ⁡ t

Resposta

x y z = 0 0 1 e - t + 0 1 0 sin ⁡ t + 1 0 0 cos ⁡ t

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