2 - O movimento de uma partícula no espaço é regido pela equação:
Determine a trajetória da partícula sabendo que no instante ela se encontra na posição .
Passo 1
A primeira coisa que deve ser feita aqui é determinar a solução desse sistema!
Montando a matriz dos coeficientes baseado no sistema então, obteremos:
Agora devemos buscar os autovalores dela!
Passo 2
AUTOVALORES:
Os autovalores de uma matriz são do tipo:
Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair na diagonal principal da matriz , veja:
O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?
Simplificando isso aí...
Essa equação só pode ser quando...
Então, se a solução dessa equação é um desses valores aqui:
Onde é o número imaginário .
O conjunto de soluções fundamentais para cada um deles vão ser:
- Para o que é real e único...
- Para que é um número complexo conjugado...
e vem do autovalor complexo:
No nosso caso:
Portanto...
Já e vem do autovetor complexo ( é a parte real e o imaginário). Vamos então determinar todos esses autovetores !
Passo 3
AUTOVETOR 1 - REAL:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Onde , e são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de :
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas primeiras equações, pegando a de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...
Então...
Se escolhermos , já que não nenhuma restrição sobre (apenas a restrição de que ele não pode ser )...
Passo 4
AUTOVETOR 2 - COMPLEXO:
Agora sim vamos ver quem são aqueles e que te fale ali no passo retrasado! Mas não s e preocupe, a forma de se resolver basicamente é a mesma (a diferença é que são números complexos agora!):
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Onde , e são os valores complexos das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de :
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como (por vias de cálculo, podemos trabalhar apenas com o lado positivo, oi seja, )...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Da última equação...
Das duas primeiras equações, se isolarmos ...
E agora escolher algum valor para , tipo , perceba que .
Separando esse vetor em parte real e parte complexa...
A parte real é o :
Já a parte imaginária...
Passo 5
Logo, as três soluções fundamentais serão:
Substituindo...
A solução final é então dada pela expressão:
Passo 6
Antes que terminemos o nosso problema, o nosso problema nos informou o ponto de partida da partícula em :
Isso significa que , e .
Substituindo aqui na solução...
Escrevendo isso de outra forma...
Trocando os valores iniciais agora...
Ou seja, a solução real da trajetória de nossa partícula é: