1. Resolva

B)

{[[overset(˙)(x) = y],[overset(˙)(y) = x],[overset(˙)(z) = x + y + 3 z]])

Passo 1

Bem, queremos aqui resolver um sistema 3x3. Basicamente a forma de resolução é a mesma dos sistemas 2x2, porém com um cálculo mais chatinho! Mas não se preocupe que vamos destrinchar juntos esses cálculos! Bora?

Primeira coisa é montar a matriz dos coeficientes A baseado no sistema:

A = [[[0,1,0],[1,0,0],[1,1,3]]]

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores lambda de uma matriz são do tipo:

det (A - lambda I) = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair lambda na diagonal principal da matriz A , veja:

det ([[-,lambda,1,0],[1,-,lambda,0],[1,1,3,-,lambda]]) = 0

O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?

([[-,lambda,1,0],[1,-,lambda,0],[1,1,3,-,lambda]]) [[-,lambda,1,],[1,-,lambda,],[1,1,]] = 0 ->

lambda^2 (3 - lambda) + 0 + 0 - (3 - lambda) - (0) - (0) = 0

Simplificando isso aí...

lambda^2 (3 - lambda) - (3 - lambda) = 0 ->

(3 - lambda) (lambda^2 - 1) = 0 ->

Para isso aí ser 0 , uma dessas duas paradas aqui tem que acontecer:

3 - lambda = 0 o u lambda^2 - 1 = 0

Então, se a solução dessa equação é um desses 3 valores aqui:

lambda_1 = 3 , lambda_2 = 1 e lambda_3 = - 1

O conjunto de soluções fundamentais x^((k)) para cada um deles vão ser:

  • Para o lambda_1 que é real e único...
  • x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

  • Para lambda_2 que é real e único...
  • x^((2)) = v_2 e^(lambda_2 t)

  • Para o lambda_3 que é real e único também:

x^((3)) = v_3 e^(lambda_3 t)

Onde v_1 , v_2 e v_3 são os autovetores. Os três autovetores da matriz, como os lambda são todos diferentes, se obtém de forma normal que conhecemos:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

(A - lambda_2 I) v_2 = 0

(A - lambda_3 I) v_3 = 0

Partiu calcular esses autovetores agora?

Passo 3

AUTOVETOR 1:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Onde a , b e c são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

(A - lambda_1 I) ([[a],[b],[c]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,lambda_1,1,0],[1,-,lambda_1,0],[1,1,3,-,lambda_1]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Como lambda_1 = 3 ...

([[-,3,1,0],[1,-,3,0],[1,1,3,-,3]]) ([[a],[b],[c]]) = 0 ->

([[-,3,1,0],[1,-,3,0],[1,1,0]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[- 3 a + b = 0],[a - 3 b = 0],[a + b = 0]])

Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...

- 8 b = 0 ->

b = 0

Então...

a = - b = 0

Se escolhermos c = 1 , já que não nenhuma restrição sobre c (apenas a restrição de que ele não pode ser 0 )...

v_1 = ([[0],[0],[1]])

Passo 4

AUTOVETOR 2:

(A - lambda_2 I) v_2 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Novamente teremos...

(A - lambda_2 I) ([[a],[b],[c]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,lambda_2,1,0],[1,-,lambda_2,0],[1,1,3,-,lambda_2]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Como lambda_2 = 1 ...

([[-,1,1,0],[1,-,1,0],[1,1,2]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[- a + b = 0],[a - b = 0],[a + b + 2 c = 0]])

Das duas últimas equações, isolando e substituindo...

a = b ->

b + b + 2 c = 0 ->

c = - b

Se escolhermos b = 1 , então a = 1 e b = - 1 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_2 = ([[1],[1],[- 1]])

Passo 5

AUTOVETOR 3:

(A - lambda_3 I) v_3 = v_2

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Novamente teremos...

(A - lambda_3 I) ([[a],[b],[c]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[-,lambda_2,1,0],[1,-,lambda_2,0],[1,1,3,-,lambda_2]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Como lambda_3 = - 1 ...

([[1,1,0],[1,1,0],[1,1,4]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[a + b = 0],[a + b = 0],[a + b + 4 c = 0]])

Das duas últimas equações...

a = - b

- b + b + 4 c = 0 ->

c = 0

Se escolhermos b = 1 , então a = - 1 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_3 = ([[- 1],[1],[0]])

Passo 6

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

x^((2)) = v_2 e^(lambda_2 t)

x^((3)) = v_3 e^(lambda_3 t)

Substituindo...

x^((1)) = ([[0],[0],[1]]) e^(3 t)

x^((2)) = ([[1],[1],[- 1]]) e^t

x^((3)) = ([[- 1],[1],[0]]) e^(- t)

A solução final é então dada pela expressão:

([[x],[y],[z]]) = c_1 x^((1)) + c_2 x^((2)) + c_3 x^((3)) ->

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[0],[0],[1]]) e^(3 t) + c_2 ([[1],[1],[- 1]]) e^t + c_3 ([[- 1],[1],[0]]) e^(- t)

Resposta

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[0],[0],[1]]) e^(3 t) + c_2 ([[1],[1],[- 1]]) e^t + c_3 ([[- 1],[1],[0]]) e^(- t)

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