O movimento de uma partícula no plano é regido pelo sistema de equações:

d x d t = 2 y

d y d t = - x

Suponha que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição ( 1 ,   1 ) , isto é, x 0 = 1 e y 0 = 1 . Mostre que a partícula desloca-se sobre a elipse:

x 2 + 2 y 2 = 3

Sugestão: Verifique que:

x = x ( t )

y = y ( t )

É a solução da equação x d x + 2 y d y = 0 .

Passo 1

Vamos que vamos pra finalizar mais uma seção do nosso queridíssimo Guidorizzi !!

Pela equação dada nós temos que:

x d x + 2 y d y = 0

Para atender a igualdade acima nós vamos assumir que:

d φ d x = x

d φ d y = 2 y

Vamos começar pela primeira condições:

d φ = x . d x

Quando nós integramos:

φ = x 2 2

Agora, para ter a segunda condição:

d φ = 2 y d y

Quando nós integramos:

φ = y 2

Se é assim:

φ x ,   y = x 2 2 + y 2

Portanto nós concluímos que a equação x d x + 2 y d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x 2 2 + y 2 = k , em que k é uma constante.

Passo 2

Agora nós precisamos saber que, quando t = 0 a partícula encontra-se na posição ( 1 ,   1 ) , isto é, x 0 = 1 e y 0 = 1 .

x = 1     e     y = 1

Substituindo:

φ 1 ,   1 = 1 2 2 + 1 2 = k

Então:

k = 3 2

Agora que achamos o valor da nossa constante nós concluímos que:

x 2 2 + y 2 = 3 2

x 2 + 2 y 2 = 3

Isso nos diz que a partícula se desloca sobre a elipse dada pelo problema !!

Gostaram, não foi?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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