Seja F : R → R dada por:

F x = ∑ n = 1 + ∞ b n . sen ⁡ ( n x )

Onde a série do 2º membro é a série de Fourier de f x = x 5 - π 4 x ,   - π ≤ x < π .

  1. Prove que F é contínua e esboce o gráfico.

Passo 1

Boom galerinha, para todo x e para todo n ≥ 1 nós temos que:

| sen ⁡ n x | ≤ 1

Levando em consideração nosso b n :

| b n . sen ⁡ n x | ≤ b n

Segundo o Critério M de Weierstrass a série será uniformemente convergente, certo?

E se lembramos do Teorema 1 da seção 7.4 se a série convergir uniformemente ela é contínua!!

Se:

∑ n = 1 + ∞ b n . sen ⁡ ( n x ) = x 5 - π 4 x

Nós podemos esboçar o gráfico:

De boas, não foi?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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