13. Olhando para o exercício anterior, resolva a equação:

A - y ' ' = 2 x 2 y ,   x ≠ 0

Passo 1

No problema anterior, verificamos que se uma EDO tem esse formato aqui:

y ' ' = h ' ' x h x y

Então a solução geral dela é dada por:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x

Certo?

Então temos que encontrar primeiro quem é h x e depois integrar! Vamos nessa?

Passo 2

Veja que a EDO que estamos lidando aqui é:

y ' ' = 2 x 2 y

Por comparação, se tomarmos...

h x = x 2   →

Então podemos encontrar as derivadas (em especial a segunda) e verificar:

h ' x = 2 x   →

h ' ' x = 2

AHA! De Fato a nossa EDO possui o formato que a gente quer!

Sendo assim...

Passo 3

A Resposta geral será dada por:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x   →

y = c 1 x 2 + c 2 x 2 ∫ 1 x 2 2 d x   →

y = c 1 x 2 + c 2 x 2 ∫ 1 x 4 d x   →

y = c 1 x 2 + c 2 x 2 ∫ x - 4 d x   →

Como conhecemos a integral de x - 4 ...

y = c 1 x 2 + c 2 x 2 x - 3 - 3   →

y = c 1 x 2 + c 2 - 3 x - 1 →

Como c 2 / - 3 é uma constante também e que não conhecemos, vamos chamar de c 2 novamente, ok? Então a solução da EDO pedia é...

y = c 1 x 2 + c 2 x - 1

Resposta

y = c 1 x 2 + c 2 x - 1

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