13. Olhando para o exercício anterior, resolva a equação:

E - y ' ' = 1 + 2 tan 2 ⁡ x y ,     0 < x < π 2 (Sugestão h x = sec ⁡ x )

Passo 1

No problema anterior, verificamos que se uma EDO tem esse formato aqui:

y ' ' = h ' ' x h x y

Então a solução geral dela é dada por:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x

Certo?

Então temos que encontrar primeiro quem é h x e depois integrar! Vamos nessa?

Passo 2

Veja que a EDO que estamos lidando aqui é:

y ' ' = 1 + 2 tan 2 ⁡ x y →

Usando o h pela sugestão...

h x = sec ⁡ x  

Sendo assim...

Passo 3

A Resposta geral será dada por:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x   →

y = c 1 sec ⁡ x + c 2 sec ⁡ x ∫ 1 sec ⁡ x 2 d x   →

y = c 1 sec ⁡ x + c 2 sec ⁡ x ∫ cos 2 ⁡ x d x   →

Usando o fato de que...

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Então...

y = c 1 sec ⁡ x + c 2 sec ⁡ x 1 2 x + cos ⁡ 2 x 2 ⋅ 2   →

y = c 1 sec ⁡ x + c 2 sec ⁡ x 1 2 x + cos ⁡ 2 x 4  

Resposta

y = c 1 sec ⁡ x + c 2 sec ⁡ x 1 2 x + cos ⁡ 2 x 4  

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