16. Olhando para o Exercício 14. Resolva a equação dada:

a )   x 6 y ' ' + k 2 - 3 4 x 4 y = 0 ,     x ≠ 0

Passo 1

Bem, sabemos do exercício 14 que a EDO com esse formato aqui:

y ' ' = g x y

Onde g x é uma função como esta aqui:

g x = h ' ' x h x - k 2 h x 4

Então a solução da EDO pode ser dada por...

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x

Onde p x é tal que p ' x = k h x 2 , x ∈ I .

Passo 2

Show! Então vamos ver quem é a nossa função h x que satisfaça aquela condição da função g . Be,, vamos começar colocando a nossa EDO no formato padrão...

x 6 y ' ' + k 2 - 3 4 x 4 y = 0   →

x 6 y ' ' = - k 2 - 3 4 x 4 y →

y ' ' = - k 2 - 3 4 x 4 x 6 y   →

y ' ' = 3 4 x 2 - k 2 x 6 y   →

Repare que se escolhermos h x = x 3 / 2 de fora que x 3 2 4 = x 6 ...

h x = x 3 / 2   →

h ' x = 3 2 x 1 / 2

h ' ' x = 3 4 x - 1 / 2

Então, a função g será...

g x = h ' ' x h x - k 2 h x 4 →

g x = 3 4 x - 1 / 2 x 3 / 2 - k 2 x 6   →

g x = 3 4 x 2 - k 2 x 6   →

E que é exatamente a mesma da EDO! O que prova que a solução da nossa EDO será então assim:

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x →

y = x 3 / 2 k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x

Passo 3

Falta ainda descobrir quem é o p x , neh? Pelo passo 1, sabemos que...

p ' x = k h x 2   →

p ' x = k x 3 2 2   →

p ' x = k x 3  

Integrando de ambos lados...

∫ p ' x d x = ∫ k x - 3 d x

p x = k x - 2 - 2

p x = - k 2 x 2

Passo 4

Belezinha, então podemos substituir na solução onde vamos obter...

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x →

y = x 3 / 2 k 1 sin ⁡ - k 2 x 2 + k 2 cos ⁡ - k 2 x 2 →

POXA! Essa ainda não é a solução final. Será que erramos?

NÃO! Acontece que o cosseno de ângulo com menos é o mesmo do ângulo positivo. O seno, entretanto será negativo:

y = x 3 / 2 - k 1 sin ⁡ k 2 x 2 + k 2 cos ⁡ k 2 x 2 →

Como k 1 é uma constante que não conhecemos, podemos falar que - k 1 é k 1 mesmo:

y = x 3 / 2 k 1 sin ⁡ k 2 x 2 + k 2 cos ⁡ k 2 x 2

Resposta

y = x 3 / 2 k 1 sin ⁡ k 2 x 2 + k 2 cos ⁡ k 2 x 2

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