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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.1 - Ex. 4c

Uma partícula desloca-se em um plano de forças dado por F → x , y , z = - y i → + x j → + z k → . Calcule o trabalho realizado por F → no deslocamento da partícula de γ a até γ b , sendo dados

  1. γ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t ,   a = 0 e b = 2 π
  2. γ t = 2 t + 1 , t - 1 ,   t ,   a = 1 e b = 2
  3. γ t = cos ⁡ t , 0 ,   s e n ⁡ t ,   a = 0 e b = 2 π

Passo 1

Oi pessoal, vamos resolver esta questão.

Para calcular o trabalho realizado pelo campo de força, temos que:

τ = ∫ γ F → ⋅ d r →

Sabemos que esta integral de linha é calculada por:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ a b F → γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Queremos então, os termos F → γ t e γ ' t . Para o item (c) temos que:

γ t = cos ⁡ t , 0 ,   sen ⁡ t

Onde x = cos ⁡ t , y = 0 e z = sen ⁡ t .

Portanto:

F → x , y , z = - y i → + x j → + z k →

F → x , y , z = - ( 0 ) i → + ( cos ⁡ t ) j → + sen ⁡ t k →

Ou:

F → x , y = 0 , cos ⁡ t , sen ⁡ t

A derivada de γ t vale:

γ ' t = - sen ⁡ t , 0 ,   cos ⁡ t

Portanto:

F → γ t ⋅ γ ' t = 0 , cos ⁡ t , sen ⁡ t ⋅ - sen ⁡ t , 0 ,   cos ⁡ t

Resolvendo este produto, temos que:

F → γ t ⋅ γ ' t = sen ⁡ t cos ⁡ t

Aplicando à integral, nos limites fornecidos, temos que:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π sen ⁡ t cos ⁡ t d t

∫ γ F → ⋅ d r → = - 1 2 cos ⁡ 2 t 0 2 π

Resolvendo, temos que:

∫ γ F → ⋅ d r → = 0

Resposta

τ = ∫ γ F → ⋅ d r → = 0

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