Enunciado

Calcule int_gamma vec F * d vec r sendo dados:

  1. vec F (x , y , z) = x vec i + y vec j + z vec k e gamma (t) = (cos t , sen t , t) , 0 <= t <= 2 pi
  2. vec F (x , y , z) = (x + y + z) vec k e gamma (t) = (t , t , 1 - t^2) , 0 <= t <= 1
  3. vec F (x , y) = x^2 vec j e gamma (t) = (t^2 , 3) , - 1 <= t <= 1
  4. vec F (x , y) = x^2 vec i + (x - y) vec j e gamma (t) = (t , sen t) , 0 <= t <= pi
  5. vec F (x , y , z) = x^2 vec i + y^2 vec j + z^2 vec k e gamma (t) = (2 cos t , 3 sen t , t) , 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos resolver este exercício.

O procedimento para resolver este item requer uma atenção redobrada para não confundir os dados. Por isso é sempre importante organizar tudo direitinho ok?

O exercício quer que calculemos int_gamma vec F * d vec r que é uma integral de linha em gamma . Para isto usamos a seguinte expressão:

int_gamma vec F * d vec r = int_a^b vec F (gamma (t)) * gamma^' (t) d t

Ou seja... Em cada item, precisamos descobrir que é vec F (gamma (t)) e gamma^' (t) para podermos efetuar o produto entre eles e resolver a integral. Vamos lá.

Passo 2

Para o item (e), temos que:

vec F (x , y , z) = x^2 vec i + y^2 vec j + z^2 vec k

E:

gamma (t) = (2 cos t , 3 sen t , t) , 0 <= t <= 2 pi

Portanto:

vec F (gamma (t)) = ((2 cos t)^2 , (3 sen t)^2 , t^2) = (4 cos^2 t , 9 sen^2 t , t^2)

E gamma^' (t) que é a derivada de gamma (t) será:

gamma^' (t) = (- 2 sen t , 3 cos t , 1)

Passo 3

Realizando o produto escalar, temos que:

vec F (gamma (t)) * gamma^' (t) = (4 cos^2 t , 9 sen^2 t , t^2) * (- 2 sen t , 3 cos t , 1)

vec F (gamma (t)) * gamma^' (t) = - 8 cos^2 t sen t + 27 sen^2 t cos t + t^2

Portanto, resolvendo a integral, temos que:

int_gamma vec F * d vec r = int_0^(2 pi) (- 8 cos^2 t sen t + 27 sen^2 t cos t + t^2) d t = 0

int_gamma vec F * d vec r = [- (8)/(3) cos^3 t + 9 sen^3 t + (t^3)/(3)]_0^(2 pi)

int_gamma vec F * d vec r = [- (8)/(3) cos^3 (2 pi) + 9 sen^3 (2 pi) + ((2 pi)^3)/(3)] - [- (8)/(3) cos^3 (0) + 9 sen^3 (0) + (0^3)/(3)]

int_gamma vec F * d vec r = - (8)/(3) + (8 pi^3)/(3) + (8)/(3)

Portanto:

int_gamma vec F * d vec r = (8 pi^3)/(3)

Resposta

int_gamma vec F * d vec r = (8 pi^3)/(3)

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