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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.1 - Ex. 1e

Calcule ∫ γ F → ⋅ d r → sendo dados:

  1. F → x , y , z = x   i → + y   j → + z k → e γ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t ,   0 ≤ t ≤ 2 π
  2. F → x , y , z = x + y + z k → e γ t = t , t ,   1 - t 2 ,   0 ≤ t ≤ 1
  3. F → x , y = x 2   j → e γ t = t 2 , 3 ,   - 1 ≤ t ≤ 1
  4. F → x , y = x 2   i → + x - y   j → e γ t = t , sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ π
  5. F → x , y , z = x 2   i → + y 2   j → + z 2 k → e γ t = 2 cos ⁡ t , 3 sen ⁡ t ,   t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos resolver este exercício.

O procedimento para resolver este item requer uma atenção redobrada para não confundir os dados. Por isso é sempre importante organizar tudo direitinho ok?

O exercício quer que calculemos ∫ γ F → ⋅ d r → que é uma integral de linha em γ . Para isto usamos a seguinte expressão:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ a b F → γ t ⋅ γ ' t d t

Ou seja... Em cada item, precisamos descobrir que é F → γ t e γ ' t para podermos efetuar o produto entre eles e resolver a integral. Vamos lá.

Passo 2

Para o item (e), temos que:

F → x , y , z = x 2   i → + y 2   j → + z 2 k →

E:

γ t = 2 cos ⁡ t , 3 sen ⁡ t ,   t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Portanto:

F → γ t = 2 cos ⁡ t 2 , 3 sen ⁡ t 2 , t 2 = 4 cos 2 ⁡ t , 9 sen 2 ⁡ t , t 2

E γ ' t que é a derivada de γ t será:

γ ' t = - 2 sen ⁡ t , 3 cos ⁡ t ,   1

Passo 3

Realizando o produto escalar, temos que:

F → γ t ⋅ γ ' t = 4 cos 2 ⁡ t , 9 sen 2 ⁡ t , t 2 ⋅ - 2 sen ⁡ t , 3 cos ⁡ t ,   1

F → γ t ⋅ γ ' t = - 8 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t + 27 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t + t 2

Portanto, resolvendo a integral, temos que:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π - 8 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t + 27 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t + t 2 d t = 0

∫ γ F → ⋅ d r → = - 8 3 cos 3 ⁡ t + 9 sen 3 ⁡ t + t 3 3 0 2 π

∫ γ F → ⋅ d r → = - 8 3 cos 3 ⁡ 2 π + 9 sen 3 ⁡ 2 π + 2 π 3 3 - - 8 3 cos 3 ⁡ 0 + 9 sen 3 ⁡ 0 + 0 3 3

∫ γ F → ⋅ d r → = - 8 3 + 8 π 3 3 + 8 3

Portanto:

∫ γ F → ⋅ d r → = 8 π 3 3

Resposta

∫ γ F → ⋅ d r → = 8 π 3 3

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