Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que o produto da velocidade pela diferença entre a posição e o tempo é igual à soma da posição com o tempo. Sabe-se que no interior a partícula encontra-se na posição . Determine a posição da partícula no instante
Passo 1
E vamos seguindo galerinha, porque não tem como fugir não !!
O problema nos disse que o produto da velocidade pela diferença entre a posição e o tempo é igual à soma da posição com o tempo:
Em que x é a posição, t o tempo e v a velocidade !!
Já sabemos que a velocidade é dada por:
Substituindo:
Vamos reorganizar a equação:
Ou melhor:
Para atender a igualdade acima nós vamos assumir que:
Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função considerar, não é?
Vamos começar por ela:
Quando nós integramos:
Agora, para ter a segunda condição:
Quando nós integramos:
Se é assim:
Portanto nós concluímos que a equação é exata e suas condições são dadas implicitamente por , em que é uma constante.
Passo 2
Agora nós precisamos saber que, quando nós podemos substituir:
Substituindo:
Então:
Agora que achamos o valor da nossa constante nós concluímos que:
Como nós queremos o valor de x que permite a derivada acima nós vamos isolá-lo:
Completando o quadrado:
Portanto, a posição da partícula no instante é dada por .
Essa foi legal, não foi?