Uma partícula move-se ao longo de uma reta segundo a equação s = 5 - 2 c o s 2 t , onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem em t s. Se vc m / s e ac m / s 2 forem, respectivamente, a velocidade e a aceleração da partícula em t s, ache v e a em termos de s.

v = 4 s e n t c o s t a = 4 ( c o s 2 t - s e n 2 t )

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 47

Uma partícula move-se ao longo de uma reta segundo a equação onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem em t s. Se e forem, respectivamente, a velocidade e a aceleração da partícula em t s, ache v e a em termos de s.

Passo 1

A questão nos pede para encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da equação dada no enunciado e a aceleração, que é a segunda derivada. Portanto precisamos fazer a derivação da equação:

Passo 2

Resolvendo a derivada:

O primeiro termo é facilmente calculado, igual a 0, o segundo vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função de fora:

E então substituímos x pela função de dentro, e multiplicamos tudo pela derivada dessa função:

Resolvendo diretamente a derivada que apareceu, ficaremos com:

Substituindo o resultado no início, nossa velocidade será:

Passo 3

Agora vamos derivar a velocidade para encontrarmos a aceleração:

Para fazermos essa derivada precisamos aplicar a Regra do Produto:

Fazendo as derivadas que apareceram diretamente, ficaremos com:

Resposta

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