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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 43

Nos exercícios de 40 a 45, uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento dada, onde s cm é a distância orientada entre a partícula e a origem no instante t s. Mostre que o movimento é harmônico simples.

43. s = s e n 6 t - 1 3 π + s e n 6 t + 1 6 π

Passo 1

A equação fornecida pelo enunciado é uma equação de movimento e periódica (quer dizer que ela repete o valor em determinado intervalo de tempo).

Para sabermos se o movimento é harmônico simples, temos que avaliar se a função que define o deslocamento e que define a aceleração têm sentidos opostos de crescimento (se uma negativa e a outra positiva), para saber a aceleração basta calcular a segunda derivada da função s(t), obtendo a(t).

Passo 2

1º - Vamos calcular a primeira derivada

s ( t ) = s e n 6 t - 1 3 π + s e n 6 t + 1 6 π

s ' t = c o s 6 t - 1 3 π ⋅ 6 + c o s t + 1 6 π ⋅ ( 6 )

                    = 6 c o s 6 t - 1 3 π + 6 c o s 6 t + 1 6 π

Passo 3

2º - Vamos calcular a derivada de segunda ordem:

s ' t = 6 c o s 6 t - 1 3 π + 6 c o s 6 t + 1 6 π

s ' ' t = a t = - 6 s e n 6 t - 1 3 π ⋅ 6 - 6 s e n 6 t + 1 6 π ⋅ 6

                                                  = - 3 6 s e n 6 t - 1 3 π - 36 s e n t + 1 6 π

Passo 4

Como podemos ver s t > 0   e   a t < 0 logo o movimento é harmônico simples.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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