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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.1 - Ex. 3

Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição é dada por γ t = t , t 2 . Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F → x , y = x + y i → + x - y j → no deslocamento da partícula de γ 0 até γ 1 .

Passo 1

Oi pessoal, vamos resolver esta questão.

Para calcular o trabalho realizado pelo campo de força, temos que:

τ = ∫ γ F → ⋅ d r →

Sabemos que esta integral de linha é calculada por:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ a b F → γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Queremos então, os termos F → γ t e γ ' t . Temos que:

γ t = t , t 2

Onde x = t e y = t 2 .

Portanto:

F → x , y = x + y i → + x - y j →

F → x , y = t + t 2 i → + t - t 2 j →

Ou:

F → x , y = t + t 2 , t - t 2

A derivada de γ t vale:

γ ' t = 1,2 t

Portanto:

F → γ t ⋅ γ ' t = t + t 2 , t - t 2 ⋅ 1,2 t

Resolvendo este produto, temos que:

F → γ t ⋅ γ ' t = t + 3 t 2 - 2 t 3

Aplicando à integral, nos limites fornecidos, temos que:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ 0 1 t + 3 t 2 - 2 t 3 d t

∫ γ F → ⋅ d r → = t 2 2 + t 3 - t 4 2 0 1

Resolvendo, temos que:

∫ γ F → ⋅ d r → = 1 2 2 + 1 3 - 1 4 2 - 0 2 2 + 0 3 - 0 4 2

∫ γ F → ⋅ d r → = 1

Resposta

τ = ∫ γ F → ⋅ d r → = 1

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