Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um paralelogramo e, reorganizando f x ,   y , tem-se:

y 2 - x 2 3 = y - x y + x 3

Tornando possível a substituição:

u = y - x

v = y + x

Ou ainda:

x = v - u 2

y = v + u 2

Pretende-se determinar o resultado da transformação dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ u ,   v d u d v

Então:

∂ x ,   y ∂ u ,   v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = - 1 2 1 2 1 2 1 2 = - 1 2

∂ x ,   y ∂ u ,   v = 1 2

Portanto:

d x d y = 1 2 d u d v

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B u v , onde B = φ B u v . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um paralelogramo:

Então, a partir das inequações dadas pelo enunciado, obtém-se:

Quando y = - x → v = 0

Quando y = x → u = 0

Quando y = 1 - x → v = 1

Quando y = 1 + x → u = 1

Dessa forma, tem-se:

B u v = u ,   v ∈ R 2 | 0 ≤ u ≤ 1   e   0 ≤ v ≤ 1

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B y 2 - x 2 3 d x d y = ∫ ∫ B u v v + u 2 2 - v - u 2 2 3 1 2 d u d v

= 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 4 3 v 2 + 2 u v + u 2 - v 2 - 2 u v + u 2 3 d u d v

= 1 2 ∫ 0 1 1 4 3 ∫ 0 1 4 u v 3   d u d v = 1 2 ∫ 0 1 v 3 ∫ 0 1 u 3   d u d v

E, resolvendo-a:

= 1 2 ∫ 0 1 v 3 3 4 u 4 3 | 1 0 d v

= 3 8 ∫ 0 1 v 3 u 4 3 | 1 0 d v

Substituindo o intervalo de integração:

= 3 8 ∫ 0 1 v 3 d v

Passo 4

Agora, para a última integral:

= 3 8 3 4 v 4 3 | 1 0

= 9 32 v 4 3 | 1 0

Substituindo o intervalo de integração:

= 9 32

Resposta

9 32

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