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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 3

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um paralelogramo e, reorganizando f (x , y) , tem-se:

root(3)(y^2 - x^2) = root(3)((y - x) (y + x))

Tornando possível a substituição:

u = y - x

v = y + x

Ou ainda:

x = (v - u)/(2)

y = (v + u)/(2)

Pretende-se determinar o resultado da transformação dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (u , v))| d u d v

Então:

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]| = |[[-,(1)/(2),(1)/(2)],[(1)/(2),(1)/(2)]]| = - (1)/(2)

|(del (x , y))/(del (u , v))| = (1)/(2)

Portanto:

d x d y = (1)/(2) d u d v

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_u v , onde B = phi (B_u v) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um paralelogramo:

Então, a partir das inequações dadas pelo enunciado, obtém-se:

Quando y = - x -> v = 0

Quando y = x -> u = 0

Quando y = 1 - x -> v = 1

Quando y = 1 + x -> u = 1

Dessa forma, tem-se:

B_u v = {(u , v) in R^2 | 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B root(3)(y^2 - x^2) d x d y = int int_B_u v [root(3)(((v + u)/(2))^2 - ((v - u)/(2))^2)] (1)/(2) d u d v

= (1)/(2) int_0^1 [int_0^1 (1)/(root(3)(4)) root(3)((v^2 + 2 u v + u^2) - (v^2 - 2 u v + u^2)) d u] d v

= (1)/(2) int_0^1 [(1)/(root(3)(4)) int_0^1 root(3)(4 u v) d u] d v = (1)/(2) int_0^1 root(3)(v) [int_0^1 root(3)(u) d u] d v

E, resolvendo-a:

= (1)/(2) int_0^1 root(3)(v) [(3)/(4) root(3)(u^4)] | [[1],[0]] d v

= (3)/(8) int_0^1 root(3)(v) [root(3)(u^4)] | [[1],[0]] d v

Substituindo o intervalo de integração:

= (3)/(8) int_0^1 root(3)(v) d v

Passo 4

Agora, para a última integral:

= (3)/(8) [(3)/(4) root(3)(v^4)] | [[1],[0]]

= (9)/(32) [root(3)(v^4)] | [[1],[0]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (9)/(32)

Resposta

(9)/(32)

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