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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 31

Uma partícula está em movimento retilíneo no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 2 . Explique a conexão entre a velocidade instantânea da partícula no instante t = 1 e as velocidades médias da partícula em partes do intervalo 0 ≤ t ≤ 2 .

Passo 1

Vamos considerar partícula em movimento retilíneo com a função na posição f , temos então que a velocidade instantânea da partícula no tempo t = 1 é dada por:

v i n s t = lim h → 0 ⁡ f 1 + h - f 1 h

Passo 2

Agora vamos ver a velocidade média em 0,2 , entre t = 1 e t = 1 + h é da forma:

v m e d = f x 1 - f x 2 x 1 - x 2

Onde:

x 1 = 1 + h e f x 1 = f 1 + h

x 2 = 1 e f x 2 = f 1

Vamos então substituir:

v m e d = f x 1 - f x 2 x 1 - x 2 = f 1 + h - f 1 1 + h - 1 = f 1 + h - f 1 h

Passo 3

Agora vamos substituir a velocidade média na equação da velocidade instantânea:

v i n s t = lim h → 0 ⁡ f 1 + h - f 1 h = lim h → 0 ⁡ v m e d

Pronto, temos uma conexão, a velocidade instantânea em t = 1 é igual ao limite da velocidade média no intervalo 0,2 quando h → 0 .

Resposta

A velocidade instantânea em t = 1 é igual ao limite da velocidade média no intervalo 0,2 quando h → 0 .

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