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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 60

57-60. Aplique o resultado do Exercício 56, se necessário, para encontrar os limites.

60. lim x → 1 ⁡ a r c   s e n   x - 1 x 2 - 1

Passo 1

Então galera, o resultado do Exercício 56 nos diz o seguinte: sabendo que L = lim x → 0 ⁡ f x x , então:

lim x → 0 ⁡ x f - 1 x = L

Podemos reescrever nosso limite da seguinte forma:

lim x → 1 ⁡ a r c   s e n   x - 1 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ a r c   s e n   x - 1 x + 1 x - 1

lim x → 1 ⁡ 1 x + 1 . lim x → 1 ⁡ a r c   s e n   x - 1 x - 1

Ademais, sabemos que nossa função é f x = a r c   s e n   x - 1 , certo? Então o que seria a inversa dessa função? De acordo com a trigonometria temos que:

f - 1 x = s e n   ( x - 1 )

Então vamos utilizar esse resultado, ok?

Passo 2

Substituindo o que encontramos no passo anterior:

lim x → 1 ⁡ 1 x + 1 . lim x → 1 ⁡ x - 1 s e n   x - 1 = 1 2 . lim x → 1 ⁡ x - 1 s e n   x - 1

Dividindo tudo por x - 1 teremos:

1 2 . lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 s e n   x - 1 x - 1 = 1 2 . lim x → 1 ⁡ 1 lim x → 1 ⁡ s e n   x - 1 x - 1

O limite do denominador é o limite trigonométrico fundamental, galera! Caso não se lembrem, ele vale 1 , logo:

1 2 . lim x → 1 ⁡ 1 lim x → 1 ⁡ s e n   x - 1 x - 1 = 1 2 . 1 1 = 1 2

Dessa forma, temos que:

lim x → 1 ⁡ a r c   s e n   x - 1 x 2 - 1 = 1 2

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

lim x → 1 ⁡ a r c   s e n   x - 1 x 2 - 1 = 1 2

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