Utilizando o exercício anterior, mostre que

ln 2 = 2 sum_(k = 0)^(oo) (1)/((2 k + 1) 3^(2 k + 1)) .

Passo 1

Nesse problema vamos utilizar o resultado do exercício 10. Lá vimos que:

ln beta = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1) , alpha = (beta - 1)/(beta + 1) e x e r c i c i o 10 b )

beta = (1 + alpha)/(1 - alpha) e x e r c i c i o 10 a )

Esses são os dois resultados que vamos precisar para resolver. Vai ser bem mais fácil do que o enunciado faz parecer, então vamos lá!

Passo 2

Bem, como já dito no passo 1, vamos usar aqueles dois resultados dos exercícios anteriores. Temos que pra essa equação nosso beta = 2 , pois vemos ali no logaritmo natural que temos ln 2 . Observando alpha agora, teremos que

alpha = (2 - 1)/(2 + 1) = (1)/(3)

Substituindo agora na equação do passo 1 do exercício 10b), vamos ter que

ln beta = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1) -> ln 2 = 2 sum_(k = 0)^(oo) (((1)/(3))^(2 k + 1))/(2 k + 1)

ln 2 = 2 sum_(k = 0)^(oo) (1^(2 k + 1))/((2 k + 1) * 3^(2 k + 1)) = 2 sum_(k = 0)^(oo) (1)/((2 k + 1) * 3^(2 k + 1)) .

Como queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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