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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 3

A população de uma cidade decresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Em 1975 ela era de 50.000 e em 1985, 44.000. Qual a população esperada em 1995?

Passo 1

Sendo y a população da cidade, a taxa de decrescimento de y é proporcional a y . Temos então a equação diferencial:

d y d t = - k y

Onde k é uma constante de proporcionalidade. Devemos então resolver a equação diferencial para y 0 = 50000 e y 10 = 44000 , sendo t o tempo decorrido desde 1975.

Passo 2

Separando as variáveis, temos:

d y y = - k d t

Integrando os dois lados:

∫ d y y = ∫ - k d t ⇒ ln ⁡ | y | = - k t + C

Sendo C uma constante. Transformamos então a equação usando a relação ln ⁡ a = b ⇒ a = e b :

y = e - k t + C ⇒ y = A e - k t

Sendo A = ± e C uma constante.

Passo 3

Para completar nossa equação, precisamos achar os valores de A e k . De y 0 = 50000 , temos:

A e 0 = 50000 ⇒ A = 50000 ⇒ y = 50000 e - k t

Agora, de y 10 = 44000 , obtemos:

50000 e - 10 k = 44000 ⇒ e - 10 k = 44000 50000 = 0,88

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e - 10 k = ln ⁡ 0,88 ⇒ - 10 k = ln ⁡ 0,88 ⇒ k = - ln ⁡ 0,88 10 ≈ 0,01278

Passo 4

Agora temos a função completa:

y t = 50000 e - 0,01278 t

No ano de 1995, terão se passado t = 1995 - 1975 = 20 anos. Queremos então y ( 20 ) :

y 20 = 50000 e - 0,01248 ⋅ 20 = 50000 e - 0,2556 ≈ 38720

Resposta

38.720   h a b i t a n t e s .

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